Question

【題目】我們定義：有一組對(duì)角相等而另一組對(duì)角不相等的凸四邊形叫做等對(duì)角四邊形．請(qǐng)解決下列問題：

（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是等對(duì)角四邊形，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，則∠C=　 　°，∠D=　 　°

（2）在探究等對(duì)角四邊形性質(zhì)時(shí)：

小紅畫了一個(gè)如圖2所示的等對(duì)角四邊形ABCD，其中，∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時(shí)她發(fā)現(xiàn)CB=CD成立，請(qǐng)你證明該結(jié)論；

（3）圖①、圖②均為4×4的正方形網(wǎng)格，線段AB、BC的端點(diǎn)均在網(wǎng)點(diǎn)上．按要求在圖①、圖②中以AB和BC為邊各畫一個(gè)等對(duì)角四邊形ABCD．

要求：四邊形ABCD的頂點(diǎn)D在格點(diǎn)上，所畫的兩個(gè)四邊形不全等．

（4）已知：在等對(duì)角四邊形ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求對(duì)角線AC的長．

Answer 1

【答案】（1）140°，75°；（2）證明見解析；（3）見解析；（4）2或2．

【解析】

試題（1）根據(jù)四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”得出∠D=∠B=75°，根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理求出∠C即可；
（2）連接BD，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠ABD=∠ADB，求出∠CBD=∠CDB，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可；
（3）根據(jù)等對(duì)角四邊形的定義畫出圖形即可求解；
（4）分兩種情況：①當(dāng)∠ADC=∠ABC=90°時(shí)，延長AD，BC相交于點(diǎn)E，先用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AE，得出DE，再用三角函數(shù)求出CD，由勾股定理求出AC；
②當(dāng)∠BCD=∠DAB=60°時(shí)，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，則∠AMD=90°，四邊形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性質(zhì)得出DN=BM=3，BN=DM=2，求出CN、BC，根據(jù)勾股定理求出AC即可．

試題解析：

（1）解：∵四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，

∴∠D=∠B=75°，

∴∠C=360°﹣75°﹣75°﹣70°=140°；

（2）證明：如圖2，連接BD，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵∠ABC=∠ADC，

∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，

∴∠CBD=∠CDB，

∴CB=CD；

（3）如圖所示：

（4）解：分兩種情況：

①當(dāng)∠ADC=∠ABC=90°時(shí)，延長AD，BC相交于點(diǎn)E，如圖3所示：

∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，

∴∠E=30°，

∴AE=2AB=10，

∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6，

∵∠EDC=90°，∠E=30°，

∴CD=2，

∴AC=；

②當(dāng)∠BCD=∠DAB=60°時(shí)，

過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，如圖4所示：

則∠AMD=90°，四邊形BNDM是矩形，

∵∠DAB=60°，

∴∠ADM=30°，

∴AM=AD=2，

∴DM=2，

∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3，

∵四邊形BNDM是矩形，

∴DN=BM=3，BN=DM=2，

∵∠BCD=60°，

∴CN=，

∴BC=CN+BN=3，

∴AC=．

綜上所述：AC的長為或．

故答案為：140，75．