Question

如圖，直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)O（0，0），A（2，0），點(diǎn)B在第一象限且△OAB為正三角形．△OAB的外接圓交y軸的正半軸于點(diǎn)C．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)是______，點(diǎn)C的坐標(biāo)是______；
（2）過點(diǎn)C的圓的切線交x軸于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積是______；
（3）若OH⊥AB于點(diǎn)H，點(diǎn)P在線段OH上．點(diǎn)Q在y軸的正半軸上，OQ=PH，PQ與OB交于點(diǎn)M．
①當(dāng)△OPM為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②探究線段OM長度的最大值是多少，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于OA是等邊三角形的邊，又是圓的弦，過B點(diǎn)作OA的垂線，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可求B點(diǎn)坐標(biāo)，連接AC，則∠OCA=∠OBA=60°，解直角△OCA可求OC．
（2）因?yàn)椤螩OA=90°，所以CA為直徑，CD為圓的切線，∠OCA=60°，所以∠DCO=30°，解直角△OCD可求OD，取AC的中點(diǎn)（圓心）為O'，用陰影部分面積=△OCD面積+△OO'C面積-扇形OO'C面積可求解．
（3）①設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，t），計(jì)算OH的長，△OPM為等腰三角形，有三種可能：OP=OM，OM=PM，OP=PM，根據(jù)每一種情況下的圖形特征，分別求解．
解答：解：（1）過點(diǎn)B作OA的垂線，垂足為G，
∵A（2，0），∴OA=2，OG=OA=1，
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，t），則=2，
∴t=，∴B（1，）（1分）
連接AC，
則∠OCA=∠OBA=60°，∴=tan60°，
OC===，
∴C（0，）．

（2）∵∠COA=90°，
∴CA為直徑，
又∵CD為圓的切線，∠OCA=60°，
∴∠DCO=30°，
∴OD=tan∠DCO•OC=×=，
∵AC是⊙O的直徑，BG為△OAB的邊OA的中線，
∴O′為△ABC外接圓的圓心，
∵∠OCA=60°，∴∠OCA=30°，∠OO′C=60°，
S_陰影=S_△OCD+S_△OO'C-S_扇形OO'C=××+××1-=．

（3）①設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，t），
OH=OA×cos60°=，
（I）若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°，
∴∠OQP=45°，
過點(diǎn)P做PE⊥OA，垂足為E，則有：OE=EP，
即t-（-t）=（t），
解得：t=1，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，1）．
（II）若OM=PM，則∠MOP=∠MPO=30°，
∴PQ∥OA，從而OQ=0.5OP，
即t=（-t），
解得t=即點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），
（III）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠COB，此時(shí)PQ∥OC，不滿足題意．
②線段OM的長的最大值為．
點(diǎn)評：本題考查了正三角形與圓，圓的切線性質(zhì)，等腰三角形條件的探求方法，面積求法及分類討論的思想，具有較強(qiáng)的綜合性．