Question

如圖1，拋物線y＝nx²－11nx＋24n (n＜0) 與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），拋物線上另有一點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，且∠BAC＝90°．

（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（_        ），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（_        ）；

（2）連接OA，若△OAC為等腰三角形．

①求此時(shí)拋物線的解析式；

②如圖2，將△OAC沿x軸翻折后得△ODC，點(diǎn)M為①中所求的拋物線上點(diǎn)A與點(diǎn)C兩點(diǎn)之間一動點(diǎn)，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，過動點(diǎn)M作垂直于x軸的直線l與CD交于點(diǎn)N，試探究：當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AMCN的面積取得最大值，并求出這個(gè)最大值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）B（3，０），C（8，０）      

（2）①作AE⊥OC，垂足為點(diǎn)E

∵△OAC是等腰三角形，∴OE＝EC＝×8＝4，∴BE＝4－3＝1

又∵∠BAC＝90°，∴△ACE∽△BAE，∴＝

∴AE²＝BE·CE＝1×4，∴AE＝2              

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為 (4，2)                     

把點(diǎn)A的坐標(biāo) (4，2)代入拋物線y＝nx²－11nx＋24n，得n＝－

∴拋物線的解析式為y＝－x²＋x－12        

②∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)M在①中的拋物線上

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為 (m，－m²＋m－12)，由①知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，－2），

則C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求直線CD的解析式為y＝x－4

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為 (m，m－4)

∴MNm²＋m－12）－（m－4）＝－m²＋5m－8 

∴S_{四邊形AMCN}＝S_△AMN＋S_△CMN＝MN·CE＝（－m²＋5m－8）×4＝－(m－5)²＋9                           

∴當(dāng)m＝5時(shí)，S_{四邊形AMCN}＝9                    

【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)求法，解一元二次方程即可得出；

（2）①利用菱形性質(zhì)得出AD⊥OC，則△ACE∽△BAE，即可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式；

②首先求出過C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)的直線CD的解析式，進(jìn)而利用求出即可．