Question

張邱建與百雞問題

在1000多年前，有一個(gè)賣雞的張老伯，他的兒子從小勤奮學(xué)習(xí)，到十二三歲時(shí)就讀了不少書，尤其是古代的《九章算術(shù)》《孔子算經(jīng)》等數(shù)學(xué)書，他特別愛讀，鄰居遇到疑難問題或者在銀錢上發(fā)生糾紛時(shí)，都要找他解決，因此大家都稱他張神童。

這件事傳到當(dāng)朝宰相耳中，他為了試探一下事情的真假，就把張老伯叫來，當(dāng)時(shí)的雞價(jià)是公雞每只5文錢，母雞每只3文錢，小雞每3只1文錢，宰相就給張老伯100文錢，叫他明天帶100只雞，不準(zhǔn)多，也不準(zhǔn)少。

晚上張神童見父親愁眉苦臉，等他了解了事情的經(jīng)過后，就勸父親不要發(fā)愁。

第二天清早他就要父親帶去4只公雞、18只母雞、78只小雞，宰相一看，正巧100文錢買100只雞；他又給張老伯100文錢，叫他再送100只雞來，結(jié)果張神童叫父親將8只公雞、11只母雞、81只小雞送給宰相。

這時(shí)宰相贊嘆不已，他又給張老伯100文錢，叫他明天按要求送雞，這下張老伯可發(fā)愁了，回去與兒子再次商量，未料張神童立即告訴父親按12只公雞、4只母雞、84只小雞配數(shù)，馬上送給宰相，宰相把雞數(shù)與雞價(jià)一算，正好百雞百錢。

這事使宰相佩服得不得了，把張神童請(qǐng)去，加以培養(yǎng)。幾年以后，張神童研究數(shù)學(xué)問題，取得了不少成果，并且寫了很多文章，而“百雞百題”就是他所寫的《張邱建算經(jīng)》中的一個(gè)不定方程問題。

下面，我們來看看張邱建是怎樣利用不定方程來解每件事這個(gè)問題的。

 

Answer 1

答案：
解析：

設(shè)張老伯帶去公雞x只，母雞y支，則小雞為（100-x-y）只，依題意有 　　 　　 　　 ① 　　 ② 　　 　　   ， 化簡(jiǎn)后得 由于方程②有2個(gè)未知數(shù)，方程有無數(shù)組解，但x、y是雞的只數(shù)，因此x、y都是正整數(shù)，我們將方程②變形為 由于y是正整數(shù)，則也是正整數(shù)。 設(shè)，則x=4t（t是正整數(shù)）。 ∴　（t是正整數(shù)）。 又∵，即　　∴ 當(dāng)時(shí)，則 當(dāng)時(shí)，則 當(dāng)時(shí)，則 ∴這三組解，恰好是張老伯每次所帶各種雞的分配數(shù)。 所謂“百雞問題”，實(shí)際上是求二元一次方程的正整數(shù)解的問題。 應(yīng)當(dāng)注意的是：二元一次方程的解是不確定的，但有些方程增加求正整數(shù)解條件時(shí)，則可求出相應(yīng)的幾組解。這里有兩題供同學(xué)們自己練習(xí)。 求下列二元一次方程的正整數(shù)解。 （1）　　　�。�2）