Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，將直角三角板EPF的直角頂點P放在線段BC的中點上，以點P為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動三角板并保證三角板的兩直角邊PE、PF分別與線段AC、AB相交，交點分別為N、M．線段MN、AP相交于點D．
（1）請你猜出線段PM與PN的大小關系，并說明理由；
（2）設線段AM的長為x，△PMN的面積為y，試用關于x的代數(shù)式表示y；
（3）當AM的長x取何值時，△PMN的面積y最�。孔钚≈凳嵌嗌�？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠APC=∠EPF=90°，得出∠APE=90°-∠APF=∠BPF，再利用AP=BP，∠BAP=∠PBA=45°，即可得出△NAP≌△MBP，得出PN=PM；
（2）利用S_△PMN=S_△ABC-S_△PCN-S_△PMB-S_△NAM，表示出各三角形的面積即可得出答案；
（3）利用二次函數(shù)最值求法直接求出即可．

解答：解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CP=BP，
∴∠APC=∠EPF=90°，
∠APE=90°-∠APF=∠BPF，
又AP=BP，∠BAP=∠PBA=45°，
∴△NAP≌△MBP，
∴PN=PM，

（2）作PW⊥AC，PR⊥AB，
∴PW∥AB，PR∥AC，
∵P是BC的中點，
∴PW=1，PR=1，
∵設線段AM的長為x，
∴BM=2-x，
∵BM=AN，
∴CN=2-（2-x）=x，
∴y=S_△PMN=S_△ABC-S_△PCN-S_△PMB-S_△NAM
=

1

2

×2×2-

1

2

×x×1-

1

2

×1×（2-x）-

1

2

x（2-x），
=2-

1

2

x-1+

1

2

x-x+

1

2

x²，
=

1

2

x²-x+1，

（3）當x=-

b

2a

=-

-1

2× 1 2

=1時，△PMN的面積y最小，
最小值為：

4ac- b2

4a

=

4× 1 2 ×1-1

4× 1 2

=

1

2

．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與三角形面積求法以及二次函數(shù)最值求法，此題綜合性較強，根據(jù)全等的性質(zhì)表示出各三角形面積是解決問題的關鍵．