【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+5x+4的頂點(diǎn)為M,與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn)。
(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);
(2)求拋物線y=x2+5x+4關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱的拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(3)設(shè)(2)中所求拋物線的頂點(diǎn)為M1,與x軸交于A1、B1兩點(diǎn),與y軸交于C1點(diǎn),在以A、B、C、M、A1、B1、C1、M1這八個(gè)點(diǎn)中的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形中,求其中一個(gè)不是菱形的平行四邊形的面積。
【答案】(1)A(-4,0),B(-1,0),C(0,4).(2)y=-x2+5x-4.(3)18.
【解析】
試題分析:(1)令y=0,求出x的值;令x=0,求出y,即可解答;
(2)先求出A,B,C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱后的點(diǎn)為(4,0),(1,0),(0,-4),再代入解析式,即可解答;
(3)取四點(diǎn)A,M,A′,M′,連接AM,MA′,A′M′,M′A,MM′,由中心對(duì)稱性可知,MM′過點(diǎn)O,OA=OA′,OM=OM′,由此判定四邊形AMA′M′為平行四邊形,又知AA′與MM′不垂直,從而平行四邊形AMA′M′不是菱形,過點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D,求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)M,根據(jù)S平行四邊形AMA′M′=2S△AMA′,即可解答.
試題解析:(1)令y=0,得x2+5x+4=0,
∴x1=-4,x2=-1,
令x=0,得y=4,
∴A(-4,0),B(-1,0),C(0,4).
(2)∵A,B,C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱后的點(diǎn)為(4,0),(1,0),(0,-4),
∴所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx-4,
將(4,0),(1,0)代入上式,得
解得:,
∴y=-x2+5x-4.
(3)如圖,取四點(diǎn)A,M,A′,M′,連接AM,MA′,A′M′,M′A,MM′,
由中心對(duì)稱性可知,MM′過點(diǎn)O,OA=OA′,OM=OM′,
∴四邊形AMA′M′為平行四邊形,
又知AA′與MM′不垂直,
∴平行四邊形AMA′M′不是菱形,
過點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D,
∵y=x2+5x+4=(x+)2-,
∴M(-,-),
又∵A(-4,0),A′(4,0)
∴AA′=8,MD=,
∴S平行四邊形AMA′M′=2S△AMA′=2××8×=18
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(1)特例探究:
如圖2,若△ABC是等邊三角形,其余條件不變,則∠D=;
如圖3,若△ABC是等腰三角形,頂角∠A=100°,其余條件不變,則∠D=;這兩個(gè)圖中,與∠A度數(shù)的比是 ;
(2)猜想證明:
如圖1,△ABC為一般三角形,在(1)中獲得的∠D與∠A的關(guān)系是否還成立?若成立,利用圖1證明你的結(jié)論;若不成立,說明理由.
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