Question

已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的邊BC在x軸上，頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，OA=2，OB=1，OC=4．

（1）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)G是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，求當(dāng)△GAB周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）若拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)P，在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)Q，使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形？若存在，寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并選擇其中一個(gè)的加以說明；若不存在，說明理由；

（4）設(shè)點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，試問：在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）由線段長(zhǎng)度求出三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解即可；

（2）找到點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A，取AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即可；

（3）分別過點(diǎn)P，A作AP的垂線，取點(diǎn)Q，根據(jù)等腰直角三角形構(gòu)建全等三角形即可求解；

（4）根據(jù)以AB為邊和以AB為對(duì)角線進(jìn)行討論，結(jié)合菱形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

【解答】解：（1）由題意可求，A（0，2），B（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）．

設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x﹣4）（x+1），

把點(diǎn)A（0，2）代入，解得：a=﹣，

所以拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣4）（x+1）=，

（2）如圖1

物線y=的對(duì)稱軸為：x=，

由點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于直線：x=的對(duì)稱點(diǎn)，所以直線AC和直線x=的交點(diǎn)即為△GAB周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)G，

設(shè)直線AC的解析式為：y=mx+n，把A（0，2），點(diǎn)C（4，0）代入得：．

，

解得：，

所以：y=x+2，

當(dāng)x=時(shí)，y=，

所以此時(shí)點(diǎn)G（，）；

（3）如圖2

使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形的所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)：Q₁（，），Q₂（，﹣），Q₃（2，），Q₄（﹣2，），

證明Q₁：過點(diǎn)Q₁作Q₁M⊥x軸，垂足為M，

由題意：∠APQ₁=90°，AP=PQ₁，

∴∠APO+∠MPQ₁=90°，

∵∠APO+∠PAO=90°，

∴∠PAO=∠MPQ₁，

在△AOP和△MPQ₁中，

，

∴△AOP≌△MPQ₁，

∴PM=AO=2，Q₁M=OP=，

∴OM=，

此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（，）；

（4）存在

點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（0，﹣2），（，2），（﹣，2），（，2）．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；結(jié)合對(duì)稱點(diǎn)解決線段和最小問題；熟悉等腰直角三角形的性質(zhì)，并應(yīng)用于點(diǎn)的存在的研究；熟悉菱形的性質(zhì)，并運(yùn)用于菱形頂點(diǎn)的存在性研究是解決此題的關(guān)鍵．