Question

（2011•舟山）已知直線y=kx+3（k＜0）分別交x軸、y軸于A、B兩點，線段OA上有一動點P由原點O向點A運動，速度為每秒1個單位長度，過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，設運動時間為t秒．
（1）當k=﹣1時，線段OA上另有一動點Q由點A向點O運動，它與點P以相同速度同時出發(fā)，當點P到達點A時兩點同時停止運動（如圖1）．
①直接寫出t=1秒時C、Q兩點的坐標；
②若以Q、C、A為頂點的三角形與△AOB相似，求t的值．
（2）當時，設以C為頂點的拋物線y=（x+m）²+n與直線AB的另一交點為D（如圖2），
①求CD的長；
②設△COD的OC邊上的高為h，當t為何值時，h的值最大？

Answer 1

解：（1）①C（1，2），Q（2，0）
②由題意得：P（t，0），C（t，﹣t+3），Q（3﹣t，0）
分兩種情況討論：
情形一：當△AQC∽△AOB時，∠AQC=∠AOB=90°，∴CQ⊥OA，∵CP⊥OA，∴點P與點Q重合，OQ=OP，即3﹣t=t，∴t=1.5
情形二：當△AQC∽△AOB時，∠ACQ=∠AOB=90°，∵OA=OB=3∴△AOB是等腰直角三角形∴△ACQ也是等腰直角三角形∵CP⊥OA∴AQ=2CP，即t=2（﹣t+3）∴t=2∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒．
（2）①由題意得：C（t，﹣）
∴以C為頂點的拋物線解析式是y=，由，
解得．
過點D作DE⊥CP于點E，則∠DEC=∠AOB=90°
∵DE∥OA∴∠EDC=∠OAB
∴△DEC∽△AOB∴∵AO=4，AB=5，DE=∴CD=
②∵，CD邊上的高=，∴，∴S_△COD為定值．
要使OC邊上的高h的值最大，只要OC最短，因為當OC⊥AB時OC最短，此時OC的長為，∠BCO=90°
∵∠AOB=90°∴∠COP=90°﹣∠BOC=∠OBA
又∵CP⊥OA∴Rt△PCO∽Rt△OAB
∴，OP=，即t=
∴．

解析