Question

（2012•北京二模）已知：如圖，Rt△ABC中，點(diǎn)D在斜邊AB上，以AD為直徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)E，連接DE
并延長，與AC的延長線交于點(diǎn)F．
（1）求證：AD=AF；
（2）若AC=3，BD=1，求CF的長．

Answer 1

分析：（1）連接OE，由切線的性質(zhì)和圓的半徑相等以及平行線的性質(zhì)證明∠F=∠ODE=∠ADF即可證明AD=AF；
（2）設(shè)⊙O的半徑是r，由OE∥AC，可得△OBE∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等即可求出r的值，因?yàn)锳F=AD=2r，所以CF的長也可求出．

解答：（1）證明：連接OE，
∵BC與⊙O相切于點(diǎn)E，
∴OE⊥BC，即∠OEB=90°．
∴∠OEB=∠ACB=90°．
∴OE∥AC．
∴∠F=∠OED．
∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED．
∴∠F=∠ODE=∠ADF．
∴AD=AF；
（2）設(shè)⊙O的半徑是r．
∵OE∥AC，
∴△OBE∽△ABC．
∴

OE

AC

=

OB

AB

．
當(dāng)AC=3，BD=1時(shí)
得 

r

3

=

1+r

1+2r

．
解得，r=

1+ 7

2

．
∴AF=AD=2r=1+

7

．
∴CF=AF-AC=1+

7

-3=

7

-2．

點(diǎn)評：主要考查了切線的判定方法和相似三角形的判定以及性質(zhì)．要掌握這些基本性質(zhì)才會(huì)在綜合習(xí)題中靈活運(yùn)用．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．