Question

某工廠現(xiàn)有20臺機器，每臺機器平均每天生產(chǎn)160件產(chǎn)品，現(xiàn)準(zhǔn)備增加一批同類機器以提高生產(chǎn)總量，在試生產(chǎn)中發(fā)現(xiàn)，由于某種原因，每增加一臺機器，每臺機器平均每天將少生產(chǎn)4件產(chǎn)品．
（1）如果增加x臺機器，每天的生產(chǎn)總量為y件，請你寫出y與x之間的關(guān)系式及自變量的取值范圍；
（2）增加多少臺機器，可以使每天的生產(chǎn)總量最大，最大生產(chǎn)總量是多少？
（3）要使生產(chǎn)總量增加300件，則機器增加的臺數(shù)應(yīng)該是多少臺？

Answer 1

解：（1）y=（20+x）（160-4x）=-4x²+80x+3200，
當(dāng)y=0時，x₁=0，x₂=20．
又因為-4＜0，
所以圖象開口向下，y＞3200時，0＜x＜20．

（2）y=-4x²+80x+3200=-4（x-10）²+3600，
因為-4＜0，
所以當(dāng)x=10時，y_最大=3600．
即增加10臺機器，可以使每天的生產(chǎn)總量最大，最大生產(chǎn)總量是3600件．

（3）生產(chǎn)總量增加300件，
即y=3200+300=3500，
解方程-4x²+80x+3200=3500，得x₁=5，x₂=15，
所以要使生產(chǎn)總量增加300件，則機器增加的臺數(shù)應(yīng)該是5臺或15臺．
分析：（1）根據(jù)題意增加x臺機器，每臺每天將少生產(chǎn)4x件產(chǎn)品，生產(chǎn)量為（160-4x）件，此時機器數(shù)為（20+x）臺，每天生產(chǎn)總量可求出；根據(jù)題意要提高生產(chǎn)總量，所以y＞160×20=3200，結(jié)合函數(shù)圖象可求出x的取值范圍；
（2）根據(jù)函數(shù)性質(zhì)和頂點坐標(biāo)公式求最值；
（3）生產(chǎn)總量增加300件，即y=3200+300=3500，解方程求解．
點評：此題求自變量的取值范圍較難點，運用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象、解方程解決二次不等式的問題，滲透了數(shù)形結(jié)合、方程與函數(shù)的解題思想和方法．