如圖所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,點P從A點出發(fā),沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動精英家教網(wǎng);同時點Q從C點出發(fā),沿CA以每秒3cm的速度向A點運動,設運動時間為x.
(1)當x為何值時,PQ∥BC;
(2)當
S△BCQ
S△ABC
=
1
3
,求
S△BPQ
S△ABC
的值;
(3)△APQ能否與△CQB相似?若能,求出AP的長;若不能,請說明理由.
分析:(1)當PQ∥BC時,根據(jù)平行線分線段成比例定理,可得出關于AP,PQ,AB,AC的比例關系式,我們可根據(jù)P,Q的速度,用時間x表示出AP,AQ,然后根據(jù)得出的關系式求出x的值.
(2)我們先看當
S△BCQ
S△ABC
=
1
3
時能得出什么條件,由于這兩個三角形在AC邊上的高相等,那么他們的底邊的比就應該是面積比,由此可得出CQ:AC=1:3,那么CQ=10cm,此時時間x正好是(1)的結(jié)果,那么此時PQ∥BC,由此可根據(jù)平行這個特殊條件,得出三角形APQ和ABC的面積比,然后再根據(jù)三角形PBQ的面積=三角形ABC的面積-三角形APQ的面積-三角形BQC的面積來得出三角形BPQ和三角形ABC的面積比.
(3)本題要分兩種情況進行討論.已知了∠A和∠C對應相等,那么就要分成AP和CQ對應成比例以及AP和BC對應成比例兩種情況來求x的值.
解答:解:(1)由題意得,PQ平行于BC,則AP:AB=AQ:AC,AP=4x,AQ=30-3x
4x
20
=
30-3x
30

∴x=
10
3


(2)∵S△BCQ:S△ABC=1:3
∴CQ:AC=1:3,CQ=10cm精英家教網(wǎng)
∴時間用了
10
3
秒,AP=
40
3
cm,
∵由(1)知,此時PQ平行于BC
∴△APQ∽△ABC,相似比為
2
3
,
∴S△APQ:S△ABC=4:9
∴四邊形PQCB與三角形ABC面積比為5:9,即S四邊形PQCB=
5
9
S△ABC
又∵S△BCQ:S△ABC=1:3,即S△BCQ=
1
3
S△ABC,
∴S△BPQ=S四邊形PQCB-S△BCQ
5
9
S△ABC-
1
3
S△ABC=
2
9
S△ABC,
∴S△BPQ:S△ABC=2:9=
2
9


(3)假設兩三角形可以相似
情況1:當△APQ∽△CQB時,CQ:AP=BC:AQ,即有
3x
4x
=
20
30-3x
解得x=
10
9

經(jīng)檢驗,x=
10
9
是原分式方程的解.
此時AP=
40
9
cm,
情況2:當△APQ∽△CBQ時,CQ:AQ=BC:AP,即有
3x
30-3x
=
20
4x
解得x=5,
經(jīng)檢驗,x=5是原分式方程的解.
此時AP=20cm.
點評:本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),根據(jù)三角形相似得出線段比或面積比是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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115
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19
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(1)經(jīng)過多長時間后,P、Q兩點的距離為5
2
cm?
(2)經(jīng)過多長時間后,△PCQ面積為15cm2?

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