Question

（2013•齊齊哈爾）如圖，蜂巢的橫截面由正六邊形組成，且能無限無縫隙拼接，稱橫截面圖形由全等正多邊形組成，且能無限無縫隙拼接的多邊形具有同形結(jié)構(gòu)．
若已知具有同形結(jié)構(gòu)的正n邊形的每個內(nèi)角度數(shù)為α，滿足：360=kα（k為正整數(shù)），多邊形外角和為360°，則k關(guān)于邊數(shù)n的函數(shù)是

k=

2n

n-2

（n=3，4，6）或k=2+

4

n-2

（n=3，4，6）

（寫出n的取值范圍）

Answer 1

分析：先根據(jù)n邊形的內(nèi)角和為（n-2）•180°及正n邊形的每個內(nèi)角相等，得出α=

(n-2)•180

n

，再代入360=kα，即可求出k關(guān)于邊數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)k為正整數(shù)求出n的取值范圍．

解答：解：∵n邊形的內(nèi)角和為（n-2）•180°，
∴正n邊形的每個內(nèi)角度數(shù)α=

(n-2)•180

n

，
∵360=kα，
∴k•

(n-2)•180

n

=360，
∴k=

2n

n-2

．
∵k=

2n

n-2

=

2(n-2)+4

n-2

=2+

4

n-2

，k為正整數(shù)，
∴n-2=1，2，±4，
∴n=3，4，6，-2，
又∵n≥3，
∴n=3，4，6．
即k=

2n

n-2

（n=3，4，6）．
故答案為k=

2n

n-2

（n=3，4，6）．

點評：本題考查了n邊形的內(nèi)角和公式，正n邊形的性質(zhì)及分式的變形，根據(jù)正n邊形的性質(zhì)求出k關(guān)于邊數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．