Question

如圖，已知：在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，且a、b是關(guān)于x的一元二次方程x²+4（c+2）=（c+4）x的兩個(gè)根，點(diǎn)D是以C為圓心，CB為半徑的圓與AB的交點(diǎn)．
（1）證明：△ABC是直角三角形；
（2）若，求AB的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下求AD長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由韋達(dá)定理可求得a+b、ab的值，然后證a²+b²=c²，由勾股定理來(lái)判定△ABC是直角三角形；
（2）可根據(jù)a、b的比例關(guān)系，用未知數(shù)設(shè)出a、b的長(zhǎng)，進(jìn)而可表示出c的值；由韋達(dá)定理知：a+b=c+4，由此可求得未知數(shù)的值，進(jìn)而可求出a、b、c的值，也就得出了AB的長(zhǎng)．
（3）欲求AD，需先求出BD；可過(guò)C作CE⊥BD于E，根據(jù)直角三角形面積的不同表示方法，可求出CE的長(zhǎng)，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理，可求出BE的值；由垂徑定理知BD=2BE，由此可求出BD的長(zhǎng)，由此得解．
解答：（1）證明：依題意，得a+b=c+4，ab=4（c+2）（1分）
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（c+4）²-2×4（c+2）=c²+8c+16-8c-16=c²
∴△ABC是直角三角形．（3分）

（2）解：設(shè)a=3k，b=4k，從而c=5k（k＞0）．
代入a+b=c+4，得k=2；
∴a=6，b=8，c=10．（5分）

（3）解：過(guò)C作CE⊥AB于E．
則CE==，BE===；
由垂徑定理，得BD=2BE=；
故AD=10-BD=10-7.2=2.8．（9分）
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理、直角三角形的判定和性質(zhì)、垂徑定理等知識(shí)．