【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=8k,BC=5k(k為常數(shù),且k>0),動(dòng)點(diǎn)P在AB邊上(點(diǎn)P不與A、B重合),點(diǎn)Q、R分別在BC、DA邊上,且AP:BQ:DR=3:2:1.點(diǎn)A關(guān)于直線PR的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′,連接PA′、RA′、PQ.

(1)若k=4,PA=15,則四邊形PARA′的形狀是;
(2)設(shè)DR=x,點(diǎn)B關(guān)于直線PQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′點(diǎn).
①記△PRA′的面積為S1 , △PQB′的面積為S2 . 當(dāng)S1<S2時(shí),求相應(yīng)x的取值范圍及S2﹣S1的最大值;(用含k的代數(shù)式表示)
②在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,判斷點(diǎn)B′能否與點(diǎn)A′重合?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)正方形
(2)

解:①由題意可知,BQ=2x,PA=3x,AR=5k﹣x,BP=8k﹣3x,

∵S1=SPRA= ARAP= (5k﹣x)3x=﹣ x2+ kx,

S2=SPQB= BPBQ= (8k﹣3x)2x=﹣3x2+8kx,

由S1<S2可得,﹣ x2+ <﹣3x2+8kx,

∵x>0,

∴x取值范圍為0<x< k,

∴S2﹣S1=﹣ x2+ kx=﹣ (x﹣ 2+ k2,

∴當(dāng)x= 時(shí),S2﹣S1有最大值,最大值為 k2

②點(diǎn)B'不能與點(diǎn)A'重合.理由如下:如圖,

假設(shè)點(diǎn)B'與點(diǎn)A'重合,則有∠APR+∠A'PR+∠B'PQ+∠BPQ=180°,

由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得,∠A'PR=∠APR,∠B'PQ=∠BPQ,

∴∠APR+∠BPQ= ×180°=90°,

由∠A=90°可得,∠APR+∠PRA=90°,

∴∠PRA=∠BPQ,

又∵∠A=∠B=90°

∴Rt△PAR∽R(shí)t△QBP,

,即PABP=ARQB.

∴3x(8k﹣3x)=(5k﹣x)2x,解得,x1=0(不合題意舍去),x2=2k,

又∵PA=PA',PB=PB'=PA',

∴PA=PB,

∴3x=8k﹣3x,解得x= k≠2k,

故點(diǎn)B'不能與點(diǎn)A'重合.


【解析】解:(1)∵k=4,PA=15,AP:BQ:DR=3:2:1,
∴DR=5,BC=AD=20,AR=AP=15,
∵A、A′關(guān)于PR對(duì)稱(chēng),
∴RA=RA′=PA=PA′,
∴四邊形PARA′是菱形,
∵∠A=90°,
∴四邊形PARA′是正方形.
故答案為正方形;
(1)先證明四邊形PARA′是菱形,再根據(jù)∠A=90°,可以推出四邊形PARA′是正方形.(2)①分別求出S1 , S2 , 根據(jù)S1<S2 , 確定自變量取值范圍,再構(gòu)建S2﹣S1關(guān)于x的二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.
②點(diǎn)B'不能與點(diǎn)A'重合,利用反證法即可證明.

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