精英家教網(wǎng)在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,tanA=
43
,點P在△ABC內(nèi),且PB=PC,點M是斜邊AB上的中點,直線PM與邊BC的交點為D(如圖),點Q是直線PM上的一動點.
(1)試判斷直線PM與AC的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)當Q在△ABC的外部時,已知由點Q、B、D組成的三角形與△ABC相似,求QM的長;
(3)當Q不在△ABC的邊上時,設(shè)BQ=x,△BQM的面積為y,請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及函數(shù)的定義域.
分析:(1)連接CM.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,得到BM=CM,結(jié)合PB=PC,可以根據(jù)到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上,則PM垂直平分BC,從而PM∥AC;
(2)根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識求得AC和BC的長,然后分三種情況考慮,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解;
(3)要表示△BQM的面積,則以QM為底,高是2.根據(jù)勾股定理即可表示QM的長.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)PM∥AC.理由如下:
∵在△ABC中,∠ACB=90°,點M是斜邊AB上的中點,
∴BM=CM,
又PB=PC,
∴PM垂直平分BC,
∴PM∥AC;

(2)①當點Q在DM的延長線上時,精英家教網(wǎng)
∵在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,tanA=
4
3
,
∴AC=3,BC=4.
要使△QBD∽△BAC,
則需
BD
AC
=
QD
BC

2
3
QD
BC
,
即QD=
8
3
,
又DM=
1
2
AC=1.5,
∴QM=QD-DM=
7
6

②當點Q在MD的延長線上時,精英家教網(wǎng)
若使△QBD∽△ABC,則
QD
AC
=
BD
BC
,
QD
3
=
2
4
,
即QD=
3
2

則QM=QD+DM=3;
若使△QBD∽△BAC,則
QD
BC
=
BD
AC
,
QD
4
=
2
3
,
即QD=
8
3
,
則QM=QD+DM=

(3)當點Q在DM的延長線上時,
則QM=
x2-4
-1.5
,
則y=
x2-4
-1.5
(x>2.5);
當點Q在DM上時,則
y=QM=1.5-
x2-4
(2<x<2.5);
當點Q在MD的延長線上時,
則y=QM=1.5+
x2-4
(x>2).
點評:此題綜合考查了解直角三角形的知識、相似三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等,綜合性較強.
練習(xí)冊系列答案
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在△ABC中,AC=8,BC=6,AB=10,則△ABC的外接圓半徑長為( 。
A、10B、5C、6D、4

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精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,AC=
 

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17、在△ABC中,AC=5,中線AD=4,那么邊AB的取值范圍為(  )

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如圖所示,在△ABC中,AC與⊙O相切于點A,AC=AB=2,⊙O交BC于D.
(1)∠C=
45
45
°;
(2)BD=
2
2

(3)求圖中陰影部分的面積(結(jié)果用π表示).

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(2013•松江區(qū)二模)如圖,已知在△ABC中,AC=15,AB=25,sin∠CAB=
45
,以CA為半徑的⊙C與AB、BC分別交于點D、E,聯(lián)結(jié)AE,DE.
(1)求BC的長;
(2)求△AED的面積.

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