Question

2005年10月，繼楊利偉之后，航天員費(fèi)俊龍、聶海勝又遨游了太空，這大大激發(fā)了王紅庭同學(xué)愛好天文學(xué)的熱情．他通過上網(wǎng)查閱資料了解到，金星和地球的運(yùn)行軌道可以近似地看作是以太陽為圓心的同心圓，且這兩個(gè)同心圓在同一平面上（如圖所示），由于金星和地球的運(yùn)轉(zhuǎn)速度不同，所以兩者的位置不斷發(fā)生變化，當(dāng)金星、地球距離最近試，此時(shí)叫“下合”；當(dāng)金星、地球距離最遠(yuǎn)時(shí)，此時(shí)叫“上合”；在地球上觀察金星的視線恰好與金星軌道相切時(shí)，此時(shí)分別叫“東大距”和“西大距”，已知地球與太陽相距約為15（千萬km），金星與太陽相距約10（千萬km），分別求“下合”、“東大距”、“西大距”、“上合”時(shí)，金星、地球的距離（可用根號表示）．
（注：在地球上觀察金星，當(dāng)金星分別在太陽的左、右兩側(cè)且視線恰好在與金星軌道相切的位置時(shí)，分別叫做西大距、東大距）

Answer 1

分析：當(dāng)金星、地球處于“下合”“上合”時(shí)，金星分別位于B點(diǎn)、E點(diǎn)；過A作小圓O的切線AC、AD，點(diǎn)C、點(diǎn)D為切點(diǎn)．
當(dāng)金星、地球處于“東大距”“西大距”時(shí)，金星分別在D點(diǎn)、C點(diǎn)，根據(jù)地球與太陽的距離和金星與太陽的距離，可將AB和AE的長直接求出；連接OC，根據(jù)勾股定理可將AC和AD的長求出．

解答：解：如圖，設(shè)太陽所在地為0點(diǎn)，地球所在地為A點(diǎn)，連接AO并延長分別交小圓O于B點(diǎn)、E點(diǎn)．
依題意知，當(dāng)金星、地球處于“下合”“上合”時(shí)，金星分別位于B點(diǎn)、E點(diǎn)．又過A作小圓O的切線AC、AD，點(diǎn)C、點(diǎn)D為切點(diǎn)．當(dāng)金星、地球處于“東大距”“西大距”時(shí)，金星分別在D點(diǎn)、C點(diǎn)．
由題意，知A、B、0、E在同一直線上．
則下合時(shí)：AB=OA-OB=5（千萬km），
上合時(shí)：AE=OA+OE=25（千萬km）．
連接OC；
∵AC切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥AC．
∴西大距時(shí)：AC=

152-102

=5

5

（千萬km）．
由對稱性知東大距時(shí)：AD=5

5

（千萬km）．
綜上得“下合”“東大距”“西大距”“上合”時(shí)金、地距離分別為：5（千萬km）、5

5

（千萬km）、5

5

（千萬km）、25（千萬km）．

點(diǎn)評：本題主要是根據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想進(jìn)行解題．