Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，點(diǎn)D在斜邊AB上，分別作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，得四邊形DECF，設(shè)DE=x，DF=y．
（1）含y的代數(shù)式表示AE；
（2）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；
（3）設(shè)四邊形DECF的面積為S，x在什么范圍時(shí)s隨x增大而增大．x在什么范圍時(shí)s隨x增大而減小，并畫(huà)出s與x圖象；
（4）求出x為何值時(shí)，面積s最大．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合矩形的性質(zhì)，即可得出用y的代數(shù)式表示的AE；
（2）根據(jù)△DBF∽△ABC推出對(duì)應(yīng)邊的相似比，然后進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即可得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，隨即結(jié)合圖形可得x的取值范圍；
（3）根據(jù)矩形的面積公式，很容易得出面積S關(guān)于x的二次函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式即可求出二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、與x軸的交點(diǎn)，很容易即可畫(huà)出圖象；
（4）根據(jù)（3）中求出的二次函數(shù)表達(dá)式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，就可得出面積s最大時(shí)x的值．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四邊形DECF為矩形，
∵DE=x，DF=y，
∴DF=EC=y，
∵AC=8，
∴AE=8-y；

（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，BC=4，AC=8，
∴△DBF∽△ABC，
∴

DF

AC

=

BF

BC

，
∴

y

8

=

4-x

4

，
∴y=8-2x（0＜x＜4）；

（3）∵矩形DECF，
∴S=xy=x（8-2x）=-2x²+8x；
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，8），與x軸的交點(diǎn)為（0，0），（4，0），
∴當(dāng)0＜x≤2時(shí)，S隨x的增大而增大；
  當(dāng)2≤x＜4時(shí)，S隨x的增大而減小，
∴函數(shù)圖象為

（4）∵由（3）的結(jié)論可知：x=-

b

2a

=2，
∴當(dāng)x=2時(shí)，面積S的值最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、二次函數(shù)的最值．關(guān)鍵在于根據(jù)相似三角形及已知條件求出相關(guān)線段的表達(dá)式，求出二次函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式畫(huà)出圖象后，即可求出結(jié)論．