Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A（﹣4，8）和點(diǎn)B（2，n）在拋物線y=ax2上．

（1）求a的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點(diǎn)Q，使得AQ+QB最短，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（2）平移拋物線y=ax2，記平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C（﹣2，0）和點(diǎn)D（﹣4，0）是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．

①當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí)，A′C+CB′最短，求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；

②當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a= ，P的坐標(biāo)為（2，﹣2），Q的坐標(biāo)是（，0）；（2）①；②存在，．

【解析】試題分析：（1）把（﹣4，8）代入y=ax2可求得a的值，把x=2代入所求的拋物線解析式，可得n的值，那么P的坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為﹣n，求得AP與x軸的交點(diǎn)即為Q的坐標(biāo)；

（2）A′C+CB′最短，說明拋物線向左平移了線段CQ的距離，用頂點(diǎn)式設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)解析式，把新頂點(diǎn)坐標(biāo)代入即可；

（3）左右平移時(shí)，使A′D+DB′′最短即可，那么作出點(diǎn)A′關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A′′，得到直線A′′B′′的解析式，讓y=0，求得相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；進(jìn)而得到拋物線頂點(diǎn)平移的規(guī)律，用頂點(diǎn)式設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)解析式，把新頂點(diǎn)坐標(biāo)代入即可．

試題解析：解：（1）將點(diǎn)A（﹣4，8）的坐標(biāo)代入y=ax2，解得a=；

將點(diǎn)B（2，n）的坐標(biāo)代入y=x2，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），則點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣2），設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，，解得：，∴直線AP的解析式是y=﹣x+，令y=0，得：x=．

即所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（，0）；

（2）①CQ=|﹣2﹣|=，

故將拋物線y=x2向左平移個(gè)單位時(shí)，A′C+CB′最短，

此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為y=（x+）2；

②左右平移拋物線y=x2．∵線段A′B′和CD的長是定值，∴要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短；

第一種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有A′D+CB′＞AD+CB，∴不存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長最短；

第二種情況：設(shè)拋物線向左平移了b個(gè)單位，則點(diǎn)A′和點(diǎn)B′的坐標(biāo)分別為A′（﹣4﹣b，8）和B′（2﹣b，2）．∵CD=2，∴將點(diǎn)B′向左平移2個(gè)單位得B′′（﹣b，2），要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短，點(diǎn)A′關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A′′（﹣4﹣b，﹣8）．∵直線A′′B′′的解析式為y=x+b+2．要使A′D+DB′′最短，點(diǎn)D應(yīng)在直線A′′B′′上，將點(diǎn)D（﹣4，0）代入直線A′′B′′的解析式，解得：b=，∴將拋物線向左平移時(shí)，存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長最短，此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為y=（x+）2．