Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（2，-5），B（5，1）．在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫出滿足下列條件的點(diǎn)（保留畫圖痕跡），并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)．
（1）在y軸上找一點(diǎn)C，使得AC+BC的值最小；
（2）在x軸上找一點(diǎn)D，使得AD-BD的值最大．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可以推知，當(dāng)點(diǎn)A、C、B三點(diǎn)共線時(shí)，AC+BC的值最小．所以作B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連結(jié)AB′交y軸于點(diǎn)C．利用待定系數(shù)法求得A′B直線解析式，則根據(jù)解析式即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三條邊”來(lái)找點(diǎn)D：作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B₁，連結(jié)AB₁延長(zhǎng)交x軸于D．當(dāng)A，B₁，D三點(diǎn)共線時(shí)，AD-B₁D=AB₁，此時(shí)AD-B₁D有最大值，最大值為AB₁的長(zhǎng)度．此時(shí)，點(diǎn)D在直線AB₁上．
解答：解：（1）C點(diǎn)如圖1所示（或作B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連結(jié)AB′交y軸于點(diǎn)C）．
設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b（k≠0）．
∵B（5，1），
∴B′（5，-1）．
又∵A（2，-5），
∴，
解得，，
∴AB′直線解析式：y=-x-，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-）；

（2）D點(diǎn)如圖所示，（作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B₁，連結(jié)AB₁延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D）．
（理由：若A，B₁，D三點(diǎn)不共線，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三條邊可得：AD-B₁D＜AB₁，所以當(dāng)A，B₁，D三點(diǎn)共線時(shí)，AD-B₁D=AB₁，此時(shí)AD-B₁D有最大值，最大值為AB₁的長(zhǎng)度．此時(shí)，點(diǎn)D在直線AB₁上）
根據(jù)題意由A（2，-5），B₁（5，-1）代入可得直線AB₁的解析式為：y=x-，
∴當(dāng)AD-BD有最大值時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩點(diǎn)之間線段最短以及三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)．解題時(shí)，注意作圖所依據(jù)的公理以及相關(guān)圖形的性質(zhì)．