Question

在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=4，OA=8，AB=4．分別以O(shè)A、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若D是線段OB上的點(diǎn)，OD=3DB，直線CD交x軸于E，求直線CD的解析式；
（3）若點(diǎn)P是（2）中直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)Q，使以O(shè)、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）過B作BF⊥x軸于F，如圖，
∵CB=4，OA=8，
∴AF=8-4=4，
在Rt△ABF中，AB=4，
∴BF==8，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8）
B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8）；

（2）過D作DG⊥x軸于E，如圖，
∴Rt△ODG∽R(shí)t△OBF，
∴OD：OB=OG：OF=DG：BF，
而OD=3DB，即OD：OB=3：4，OF=4，BF=8，
∴OE=3，DG=6，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，6）；
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
把C（0，8）、D（3，6）代入得，b=8，3k+b=6，解得k=-，b=8，
∴直線CD的解析式為y=-x+8；

（3）存在．理由如下：
如圖，
當(dāng)OC為菱形的對(duì)角線，即P₁Q₁垂直平分OC，
∴P₁的縱坐標(biāo)為4，
把y=4代入y=-x+8解得x=6，
∴P₁的坐標(biāo)為（6，4），
∴Q₁的坐標(biāo)為（-6，4）；
當(dāng)OC為菱形的邊長(zhǎng)，
∴P₂O=OC=Q₂P₂=8，P₂Q₂∥OC，
設(shè)P₂（a，b），則Q（a，b+8），
∴a²+b²=8²，b=-a+8，解得a=，b=，
∴Q₂的坐標(biāo)為（，）；
同樣的方法可求出Q₃的坐標(biāo)為（-，）；
所以滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-6，4）；（，）；（-，）．
分析：（1）過B作BF⊥x軸于F，則OF=BC=4，得到AF=4，在Rt△ABF中，利用勾股定理求出BF，即可得到B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過D作DE⊥x軸于E，則Rt△ODE∽R(shí)t△OBF，得到OD：OB=OE：OF=DE：BF，而OD=3DB，即OD：OB=3：4，OF=4，BF=8，求出OE=3，DE=6，確定D點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法可求出直線CD的解析式；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)得：當(dāng)OC為菱形的對(duì)角線，即P₁Q₁垂直平分OC，P₁的縱坐標(biāo)為4，把y=4代入y=-x+8可確定P₁的坐標(biāo)，即可得到Q₁的坐標(biāo)；當(dāng)OC為菱形的邊長(zhǎng)，則P₂O=OC=Q₂P₂=8，P₂Q₂∥OC，設(shè)P₂（a，b），則Q（a，b+8），則a²+b²=8²，b=-a+8，解出a和b的值即可得到Q₂的坐標(biāo)；同樣的方法可求出Q₃的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用待定系數(shù)法求直線的解析式：設(shè)直線的解析式為y=kx+b，然后把兩確定的點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出k和b即可；也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理以及分類討論思想的運(yùn)用．