【題目】如圖,已知AB是O的直徑,點(diǎn)C在O上,過點(diǎn)C的直線與AB的延長線交于點(diǎn)P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求證:PC是O的切線;
(2)求證:BC= AB;
(3)點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn),CM交AB于點(diǎn)N,若AB=4,求MN·MC的值.
【答案】
(1)
證明:∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO.
又∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB,
∴∠A=∠ACO=∠PCB.
又∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACO+∠OCB=90°.
∴∠PCB+∠OCB=90°.
即OC⊥CP,
∵OC是⊙O的半徑.
∴PC是⊙O的切線.
(2)
證明:∵AC=PC,
∴∠A=∠P,
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P.
又∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB,
∴∠COB=∠CBO,
∴BC=OC.
∴BC= AB.
(3)
解:連接MA,MB,
∵點(diǎn)M是 的中點(diǎn),
∴ = ,
∴∠ACM=∠BCM.
∵∠ACM=∠ABM,
∴∠BCM=∠ABM.
∵∠BMN=∠BMC,
∴△MBN∽△MCB.
∴ ,
∴BM2=MNMC.
又∵AB是⊙O的直徑, = ,
∴∠AMB=90°,AM=BM.
∵AB=4,
∴BM=2 .
∴MNMC=BM2=8.
【解析】(1)由半徑OA=OC,可得等邊對(duì)等角∠A=∠ACO,則∠COB=2∠A,已知∠COB=2∠PCB,∠A=∠ACO=∠PCB.由直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ACO+∠OCB=90°.從而轉(zhuǎn)換得到∠PCB+∠OCB=90°即可證得;(2)“等角對(duì)等邊”與“等邊對(duì)等角”相互運(yùn)用可證OC=BC;(3)連接MA,MB,先證明△MBN∽△MCB.則 ,即BM2=MNMC.由AB是⊙O的直徑, = ,AB=4,解出BM,從而可解得MNMC.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解圓周角定理的相關(guān)知識(shí),掌握頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一食堂需要購買盒子存放食物,盒子有A,B兩種型號(hào),單個(gè)盒子的容量和價(jià)格如表.
型號(hào) | A | B |
單個(gè)盒子容量(升) | 2 | 3 |
單價(jià)(元) | 5 | 6 |
現(xiàn)有15升食物需要存放且要求每個(gè)盒子要裝滿,由于A型號(hào)盒子正做促銷活動(dòng):購買三個(gè)及三個(gè)以上可一次性返還現(xiàn)金4元,則購買盒子所需要最少費(fèi)用為________元.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,∠A=∠B=30°,CD平分∠ACB,M、N分別是BC、AC的中點(diǎn).圖中等于60°的角有( 。﹤(gè).
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知含字母x,y的多項(xiàng)式是:3[x2+2(y2+xy﹣2)]﹣3(x2+2y2)﹣4(xy﹣x﹣1)
(1)化簡此多項(xiàng)式;
(2)小紅取x,y互為倒數(shù)的一對(duì)數(shù)值代入化簡的多項(xiàng)式中,恰好計(jì)算得多項(xiàng)式的值等于0,那么小紅所取的字母y的值等于多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A,B分別在x軸和y軸上, = ,∠AOB的角平分線與OA的垂直平分線交于點(diǎn)C,與AB交于點(diǎn)D,反比例函數(shù)y= 的圖象過點(diǎn)C,若以CD為邊的正方形的面積等于 ,則k的值是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列計(jì)算正確的是( 。
A.2m3+3m2=5m5
B.﹣5(﹣x3)﹣2=﹣
C.(3a3b3)2=6a6b6
D.
=﹣2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AD是△ABC的角平分線,DF⊥AB,垂足為F,DE=DG,△ADG和△AED的面積分別為25和17,則△EDF的面積為( 。
A. 4 B. 5 C. 5.5 D. 6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn),A在B的左側(cè),已知點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為2,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為a.
(1)若a=﹣3,則線段AB的長為 (直接寫出結(jié)果);
(2)若點(diǎn)C在線段AB之間,且AC﹣BC=2,求點(diǎn)C表示的數(shù)(用含a的式子表示);
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)D是數(shù)軸上A點(diǎn)左側(cè)一點(diǎn),當(dāng)AC=2AD,BD=4BC,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A是射線BE上一點(diǎn),過A作AC⊥BF,垂足為C,CD⊥BE,垂足為D.給出下列結(jié)論:①∠1是∠ACD的余角;②圖中互余的角共有3對(duì);③∠1的補(bǔ)角只有∠DCF;④與∠ADC互補(bǔ)的角共有3個(gè).其中正確結(jié)論有_____.
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