下圖是一紙杯,它的母線AC和EF延長后形成的立體圖形是圓錐.該圓錐的側(cè)面展開圖形是扇形OAB.經(jīng)測量,紙杯上開口圓的直徑為6cm,下底面直徑為4cm,母線長EF=8cm.求扇形OAB的圓心角及這個紙杯的表面積.(面積計算結(jié)果用π表示).

【答案】分析:(1)設(shè)∠AOB=n°,AO=R,則CO=R-8,利用圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系列方程,并聯(lián)立成方程組求解即可;
(2)求紙杯的側(cè)面積即為扇環(huán)的面積,需要用大扇形的面積減去小扇形的面積.紙杯表面積=S紙杯側(cè)面積+S紙杯底面積
解答:解:由題意可知:=6π,=4π,設(shè)∠AOB=n,AO=R,則CO=R-8,
由弧長公式得:=4π,
,
解得:n=45°,R=24cm,
故扇形OAB的圓心角是45度.
∵R=24cm,R-8=16cm,
∴S扇形OCD=×4π×16=32πcm2,
S扇形OAB=×6π×24=72πcm2,
紙杯側(cè)面積=S扇形OAB-S扇形OCD=72π-32π=40πcm2,
紙杯底面積=π•22=4πcm2,
紙杯表面積=40π+4π=44πcm2
點評:主要考查圓錐的側(cè)面展開圖與底面周長之間的關(guān)系和扇環(huán)的面積的求法.
本題中(1)就是把的扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系,列方程求解;
(2)扇環(huán)的面積等于大扇形的面積減去小扇形的面積.
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