Question

【題目】已知拋物線C1：y=﹣ x2+bx+c的對稱軸是x=2，且經(jīng)過點（6，0）．

（1）求拋物線C1的解析式；
（2）將拋物線C1向下平移2個單位后得到拋物線C2 ， 如圖，直線y=kx﹣2k+1交拋物線C2于A，B兩點（點A在點B的左邊），交拋物線C2的對稱軸于點C，M（xA ， 3），xA表示點A橫坐標(biāo)，求證：AC=AM；
（3）在（2）的條件下，請你參考（2）中的結(jié)論解決下列問題：
①若CM=AM，求 的值；
②請你探究：在拋物線C2上是否存在點P，使得PO+PC取得最小值？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線C1的對稱軸為直線x=2，且拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為（6，0），

∴拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（﹣2，0），

∴拋物線C1的解析式為y=﹣ （x+2）（x﹣6），

即y=﹣ x2+x+3

（2）證明：∵拋物線C1的解析式為y=﹣ （x﹣2）2+4，

∴拋物線C2的解析式為y=﹣ （x﹣2）2+2，

∵直線y=kx﹣2k+1過定點（2，1），

而直線y=kx﹣2k+1交拋物線C2的對稱軸于點C，

∴C（2，1），

設(shè)A[x，﹣ （x﹣2）2+2）]，

∴AC2=（x﹣2）2+[﹣ （x﹣2）2+2﹣1]2= （x﹣2）4+ （x﹣2）2+1，

AM2=[﹣ （x﹣2）2+2﹣3]2= （x﹣2）4+ （x﹣2）2+1，

∴AC=AM

（3）解：①∵AC=AM，CM=AM，

∴△ACM是等邊三角形．

∴∠AMC=∠ACM=60°，

直線y=3交直線x=2于D點，過點B作BE⊥直線y=3于點E，如圖1，則由（2）可知BC=BE，易證∠MCD=60°，∠BCE=∠DCE=30°，

在Rt△CDE中，tan∠DCE=tan30°= = ，

在Rt△CDM中，tan∠CMD=tan30°= = ，

∴ = ，

∵AM∥DC∥EB，

∴ = = ；

②存在．

如圖2，y軸與拋物線的交點記作點P，與直線y=3的交點記作點H，

由（2）可知PC=PH，

如圖，在拋物線上取異于點P的P′，作P′H′⊥直線y=3于H′，P′Q⊥y軸于點Q，

由（2）可知P′C=PH′，

易得四邊形HH′P′Q為矩形，

∴P′H′=QH，

∵OP′＞OQ，

∴OQ+QH＜OP′+P′H′，

∴OP+PH＜OP′+P′C，

∴點P（0，1）使得PO+PC取得最小值．

【解析】（1）根據(jù)已知點的坐標(biāo)和對稱軸求出此拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)，即可求出拋物線的解析式。
（2）先拋物線C1寫成頂點式，再根據(jù)平移規(guī)律（上加下減），求出拋物線C2的函數(shù)解析式，而交拋物線C2的對稱軸于點C，，可知點C（2，1），再設(shè)出點A的坐標(biāo)，利用勾股定理求出AC2、AM2即可得到AC=AM。
（3）①由已知易征得△ACM是等邊三角形．直線y=3交直線x=2于D點，過點B作BE⊥直線y=3于點E，在Rt△CDE中和Rt△CDM中，利用解直角三角形得出 、的值，從而得到DE:DM的值，再由AM∥DC∥EB，得出對應(yīng)線段成比例，即可求得結(jié)果；②y軸與拋物線的交點記作點P，與直線y=3的交點記作點H，先證明四邊形HH′P′Q為矩形，得到P′H′=QH，再利用OP′＞OQ得出OP+PH＜OP′+P′C，，于是可判斷點P（0，1）使得PO+PC取得最小值。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．