【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(﹣3,0)兩點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸與C點(diǎn),在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△QAC的周長(zhǎng)最。咳舸嬖,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P,使△PBC的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值;若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:將A(1,0),B(﹣3,0)代y=﹣x2+bx+c中得
∴
∴拋物線解析式為:y=﹣x2﹣2x+3
(2)
解:存在
理由如下:由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1對(duì)稱
∴直線BC與x=﹣1的交點(diǎn)即為Q點(diǎn),此時(shí)△AQC周長(zhǎng)最小
∵y=﹣x2﹣2x+3
∴C的坐標(biāo)為:(0,3)
直線BC解析式為:y=x+3
Q點(diǎn)坐標(biāo)即為
解得
∴Q(﹣1,2)
(3)
解:存在.
理由如下:設(shè)P點(diǎn)(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣3<x<0)
∵S△BPC=S四邊形BPCO﹣S△BOC=S四邊形BPCO﹣
若S四邊形BPCO有最大值,則S△BPC就最大,
∴S四邊形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC
= BEPE+ OE(PE+OC)
= (x+3)(﹣x2﹣2x+3)+ (﹣x)(﹣x2﹣2x+3+3)
=
當(dāng)x=﹣ 時(shí),S四邊形BPCO最大值=
∴S△BPC最大=
當(dāng)x=﹣ 時(shí),﹣x2﹣2x+3=
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣ , )
【解析】(1)根據(jù)題意可知,將點(diǎn)A、B代入函數(shù)解析式,列得方程組即可求得b、c的值,求得函數(shù)解析式;(2)根據(jù)題意可知,邊AC的長(zhǎng)是定值,要想△QAC的周長(zhǎng)最小,即是AQ+CQ最小,所以此題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)Q的位置,找到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)B,求得直線BC的解析式,求得與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即是所求;(3)存在,設(shè)得點(diǎn)P的坐標(biāo),將△BCP的面積表示成二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)最值的方法即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,﹣4)的拋物線y= x2+bx+c與x軸相交于B(﹣2,0),C兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)將拋物線y= x2+bx+c向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線,若新拋物線的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi),求m的取值范圍;
(3)設(shè)點(diǎn)M在y軸上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了迎接黨的十八大的召開(kāi),某校組織了以“黨在我心中”為主題的征文比賽,每位學(xué)生只能參加一次比賽,比賽成績(jī)只分A、B、C、D四個(gè)階段.隨機(jī)抽取該校部分學(xué)生的征文比賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,并繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表: 根據(jù)表中的信息,解決下列問(wèn)題:
成績(jī)等級(jí) | A | B | C | D |
人數(shù) | 60 | x | y | 10 |
占抽查學(xué)生總數(shù)的百分比 | 30% | 50% | 15% | m |
(1)本次抽查的學(xué)生共有名;
(2)表中x、y和m所表示的數(shù)分別為:X= , y= , m=;
(3)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xoy.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,4 ),請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)將△ABC向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,畫(huà)出平移后的A1B1C1 , 并寫(xiě)出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo);
(2)畫(huà)出△A1B1C1關(guān)于y軸對(duì)稱的△A2B2C2;
(3)將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△A3B3C.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4.將△AOB沿x軸依次以點(diǎn)A、B、O為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn),分別得到圖②、圖③、…,則旋轉(zhuǎn)得到的圖⑩的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn),且PA=5,PB=12,PC=13,若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,得到△P′AB,求點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離及∠APB的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,小強(qiáng)和小華共同站在路燈下,小強(qiáng)的身高EF=1.8m,小華的身高M(jìn)N=1.5m,他們的影子恰巧等于自己的身高,即BF=1.8m,CN=1.5m,且兩人相距4.7m,則路燈AD的高度是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)且a≠0)的圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y= 的圖象可能是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地欲搭建一橋,橋的底部?jī)啥碎g的距離AB=L,稱跨度,橋面最高點(diǎn)到AB的距離CD=h稱拱高,當(dāng)L和h確定時(shí),有兩種設(shè)計(jì)方案可供選擇:①拋物線型,②圓弧型.已知這座橋的跨度L=32米,拱高h(yuǎn)=8米.
(1)如果設(shè)計(jì)成拋物線型,以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系,求橋拱的函數(shù)解析式;
(2)如果設(shè)計(jì)成圓弧型,求該圓弧所在圓的半徑;
(3)在距離橋的一端4米處欲立一橋墩EF支撐,在兩種方案中分別求橋墩的高度.
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