Question

【題目】閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：

如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使得DE=AD，再連接BE（或?qū)?/span>△ACD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．

感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．

（1）問(wèn)題解決：受到（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．

①求證：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明；

（2）問(wèn)題拓展：如圖3，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，聯(lián)結(jié)EF、CF，那么下列結(jié)論①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．中一定成立是 （填序號(hào)）.

圖1 圖2 圖3

Answer 1

【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②BE2+CF2=EF2；(2)①②④.

【解析】試題分析：（1）①可按閱讀理解中的方法構(gòu)造全等，把CF和BE轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中，利用三角形的三邊關(guān)系求解即可；②由∠A=90°，可得∠EBC+∠FCB=90°，由①中的全等得到∠C=∠CBG；即可得∠ABC+∠CBG =90°，即∠EBG=90°，由此可得可得三邊之間存在勾股定理關(guān)系；（2）①在ABCD中，AD=2AB，F是AD的中點(diǎn)，可得AF=FD=CD，即可得∠DFC=∠DCF；再由AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DFC=∠FCB，所以∠DCF=∠BCF，根據(jù)角平分線的定義可得∠DCF=∠BCD，①正確；②延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，根據(jù)已知條件易證△AEF≌△DMF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FE=MF，∠AEF=∠M，又因CE⊥AB，可得∠AEC=90°，所以∠AEC=∠ECD=90°，因FM=EF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得FC=FM，②正確；③由EF=FM可得S△EFC=S△CFM，又因MC＞BE，即可得S△BEC＜2S△EFC，所以S△BEC=2S△CEF錯(cuò)誤，即③錯(cuò)誤；④設(shè)∠FEC=x，則∠FCE=x，所以∠DCF=∠DFC=90°﹣x，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠EFC=180°﹣2x，所以∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，再由∠AEF=90°﹣x，即可得∠DFE=3∠AEF，④正確．

試題解析：

延長(zhǎng)FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG．（或把△CFD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△BGD），

∵BD=CD,∠BDG=∠CDF，

∴△BDG≌△CDF,

∴CF=BG，

∵DE⊥DF，DF=DG，

∴EF=EG．

在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．

②若∠A=90°，則∠EBC+∠FCB=90°，

由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG，

∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，

∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，

∴BE2+CF2=EF2；

（2）①∵F是AD的中點(diǎn)，

∴AF=FD，

∵在ABCD中，AD=2AB，

∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠FCB，

∴∠DCF=∠BCF，

∴∠DCF=∠BCD，故此選項(xiàng)正確；

②延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠A=∠MDF，

∵F為AD中點(diǎn)，

∴AF=FD，

在△AEF和△DFM中， ，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴FE=MF，∠AEF=∠M，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC=90°，

∴∠AEC=∠ECD=90°，

∵FM=EF，

∴FC=FM，故②正確；

③∵EF=FM，

∴S△EFC=S△CFM，

∵M(jìn)C＞BE，

∴S△BEC＜2S△EFC

故S△BEC=2S△CEF錯(cuò)誤；

④設(shè)∠FEC=x，則∠FCE=x，

∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，

∴∠EFC=180°﹣2x，

∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，

∵∠AEF=90°﹣x，

∴∠DFE=3∠AEF，故此選項(xiàng)正確．

故正確答案為：①②④.