Question

若數(shù)a能表示成兩個(gè)自然數(shù)（允許相同）的平方和，則稱(chēng)a為“好數(shù)”．
（1）試確定，在前1，2，3…9，10中，有多少個(gè)好數(shù)？
（2）試確定，在前1，2，3…99，100中，有多少個(gè)好數(shù)？

Answer 1

【答案】分析：（1）直接分析1至10這十個(gè)數(shù)中的平方數(shù)即可找出好數(shù)，不漏掉即可；
（2）按照規(guī)律分段討論平方數(shù)，即0²，1²，2²，9²，10² 中的每一個(gè)數(shù)k²可表示成k²+0²的形式，其好數(shù)個(gè)數(shù)；
1²，2²，6²，7²中的每對(duì)數(shù)（可相同）的和不大于100，計(jì)算其好數(shù)個(gè)數(shù)；8²+x²和9²+x²的形式其中好數(shù)的個(gè)數(shù)，然后再考慮重復(fù)的情況．
解答：解：（1）在1，2，3…9，10中的平方數(shù)是：1=1²+0²，2=1²+1²，4=2²+0²，5=1²+2²，8=2²+2²，9=3²+0²，10=1²+3²，有7個(gè)．
（2）不超過(guò)100的平方數(shù)是：0²，1²，2²，…，9²，10²．
顯然，1²，2²，…，9²，10²中的每一個(gè)數(shù)k²可表示成k²+0²的形式，這種數(shù)有10個(gè)．
而1²，2²，…，6²，7²中的每對(duì)數(shù)（可相同）的和不大于100，這種數(shù)有個(gè)（其中，x²+x²的形式的數(shù)有7個(gè)，x²+y²（x≠y）形式的數(shù)有個(gè)）
其次，8²+x²（x=1，2，…，5，6）的形式的數(shù)有6個(gè)，
9²+x²（x=1，2，3，4）的形式的數(shù)有4個(gè)．
再考慮重復(fù)情況，不超過(guò)20且能表示為兩個(gè)不同正整數(shù)的平方和的數(shù)有5，10，13，17，20，該組中的每個(gè)數(shù)與5的積為：25=3²+4²，25=0²+5²，50=1²+7²，50=5²+5²，65=1²+8²，65=4²+7²，85=2²+9²，85=6²+7²，100=6²+8²，100=10²+0²．都可用兩種方式表示為平方和，各被計(jì)算了兩次，共計(jì)5次重復(fù)．
所以滿足條件的好數(shù)共有：10+28+6+4-5=43（個(gè)）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查完全平方數(shù)，其中涉及完全平方數(shù)的組合及其規(guī)律．