Question

【題目】如圖，矩形AOCB的頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)，x＞0）的圖像上，且AB=3，BC=8．若動(dòng)點(diǎn)E從A開始沿AB向B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從B開始沿BC向C以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式．

（2）當(dāng)t=1時(shí)，在y軸上是否存在點(diǎn)D，使△DEF的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出△DEF的周長(zhǎng)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）在雙曲線上是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)B、E、F、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出滿足條件t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在，t=或t=2

【解析】

（1）根據(jù)AB與BC的長(zhǎng)，且B為第一象限角，確定出B的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；

（2）運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，在y軸上存在點(diǎn)D，使△DEF的周長(zhǎng)最小，理由為：作出E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F，與y軸交于點(diǎn)D，連接DE，EF，此時(shí)△DEF周長(zhǎng)最小，求出周長(zhǎng)最小值即可；

（3）存在，若四變形BEMF為平行四邊形，由題意得E(t，8)，F(3，8-2t)，0＜t≤3．分BF為對(duì)角線，BE為對(duì)角線，EF為對(duì)角線時(shí)，建立方程求解即可得出結(jié)論．

解：（1）由題可知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，8)，且點(diǎn)B在y＝上．

∴k=3×8=24，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y＝．

（2）t=1時(shí)，E（1，8），F（3，6），則EF＝，

取E關(guān)于y軸的對(duì)稱E′(-1，8)，

連接E′F，E′F＝，△DEF的周長(zhǎng)＝DE+DF+EF＝+DE′+DF≥2+E′F，

∴△DEF的周長(zhǎng)的最小值＝2+2，

此時(shí)點(diǎn)D為E′F與y軸交點(diǎn)，

∵E′(-1，8)，F(3，6)，

設(shè)E′F：y=kx+b，

則，

解得，

∴E′F：y＝，

∴此時(shí)D(0，)，

即：y軸上存在點(diǎn)D(0，)，使△DEF周長(zhǎng)最小，且最小值為2+2．

（3）存在，若四邊形BEMF為平行四邊形，由題意得E(t，8)，F(3，8-2t)，0＜t≤3．

①當(dāng)BF是對(duì)角線時(shí)，BE//FM，此時(shí)M在F右側(cè)，M(，82t)，

又∵BE=FM，

∴3t＝3，t2-10t+12=0，

解得t1＝5，t2＝5+（舍）．

②當(dāng)BE為對(duì)角線時(shí)，BF//EM，此時(shí)M在E正上方，Mt(t，)，

∵ME=BF，

∴8＝2t，t2+4t-12=0，

解得t1=2，t2=-6（舍）．

③EF為對(duì)角線時(shí)，明顯，點(diǎn)M不在雙曲線上．

故綜上：t=2或5．