Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S．

求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=﹣x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）先假設(shè)出函數(shù)解析式，利用三點(diǎn)法求解函數(shù)解析式．

（2）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，利用S=S_△AOM+S_△OBM﹣S_△AOB即可進(jìn)行解答；

（3）當(dāng)OB是平行四邊形的邊時(shí)，表示出PQ的長(zhǎng)，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等列出方程求解即可；當(dāng)OB是對(duì)角線時(shí)，由圖可知點(diǎn)A與P應(yīng)該重合．

【解答】解：（1）設(shè)此拋物線的函數(shù)解析式為：

y=ax²+bx+c（a≠0），

將A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點(diǎn)代入函數(shù)解析式得：

解得，

所以此函數(shù)解析式為：y=；

（2）∵M(jìn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)M在這條拋物線上，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（m，），

∴S=S_△AOM+S_△OBM﹣S_△AOB

=×4×（﹣m²﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4

=﹣m²﹣2m+8﹣2m﹣8

=﹣m²﹣4m，

=﹣（m+2）²+4，

∵﹣4＜m＜0，

當(dāng)m=﹣2時(shí)，S有最大值為：S=﹣4+8=4．

答：m=﹣2時(shí)S有最大值S=4．

（3）設(shè)P（x， x²+x﹣4）．

當(dāng)OB為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知PQ∥OB，且PQ=OB，

∴Q的橫坐標(biāo)等于P的橫坐標(biāo)，

又∵直線的解析式為y=﹣x，

則Q（x，﹣x）．

由PQ=OB，得|﹣x﹣（x²+x﹣4）|=4，

解得x=0，﹣4，﹣2±2．

x=0不合題意，舍去．

如圖，當(dāng)BO為對(duì)角線時(shí)，知A與P應(yīng)該重合，OP=4．四邊形PBQO為平行四邊形則BQ=OP=4，Q橫坐標(biāo)為4，代入y=﹣x得出Q為（4，﹣4）．

由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）或（4，﹣4）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三點(diǎn)式求拋物線的方法，以及拋物線的性質(zhì)和最值的求解方法．