【題目】ABC中,AB=AC,點D是直線BC上一點(不與B、C重合),以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE,使AD=AE,DAE=BAC,連接CE.

(1)如圖1,當(dāng)點D在線段BC上,如果∠BAC=90°,則∠BCE=  度;

(2)設(shè)∠BAC=α,BCE=β.

①如圖2,當(dāng)點D在線段BC上移動,則α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由;

②當(dāng)點D在直線BC上移動,則α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的結(jié)論.

【答案】(1)90°;(2)①α+β=180°,理由見解析;②當(dāng)點D在射線BC上時,α+β=180°;當(dāng)點D在射線BC的反向延長線上時,α=β.

【解析】(1)問要求∠BCE的度數(shù),可將它轉(zhuǎn)化成與已知角有關(guān)的聯(lián)系,根據(jù)已知條件和全等三角形的判定定理,得出△ABD≌△ACE,再根據(jù)全等三角形中對應(yīng)角相等,最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論;(2)問在第(1)問的基礎(chǔ)上,將α+β轉(zhuǎn)化成三角形的內(nèi)角和;(3)問是第(1)問和第(2)問的拓展和延伸,要注意分析兩種情況.

解:(1)90°.

理由:∵∠BAC=∠DAE,

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC.

即∠BAD=∠CAE.

在△ABD與△ACE中,

AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,

∴△ABD≌△ACE(SAS),

∴∠B=∠ACE.

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB,

∴∠BCE=∠B+∠ACB,

又∵∠BAC=90°,

∴∠BCE=90°;

(2)①α+β=180°,

理由:∵∠BAC=∠DAE,

∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC.

即∠BAD=∠CAE.

在△ABD與△ACE中,

AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,

∴△ABD≌△ACE(SAS),

∴∠B=∠ACE.

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB.

∴∠B+∠ACB=β,

∵α+∠B+∠ACB=180°,

∴α+β=180°;

②當(dāng)點D在射線BC上時,α+β=180°;

理由:∵∠BAC=∠DAE,

∴∠BAD=∠CAE,

∵在△ABD和△ACE中,

AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,

∴△ABD≌△ACE(SAS),

∴∠ABD=∠ACE,

∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°,

∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°,

∴α+β=180°;

當(dāng)點D在射線BC的反向延長線上時,α=β.

理由:∵∠DAE=∠BAC,

∴∠DAB=∠EAC,

∵在△ADB和△AEC中,

AD=AE,∠DAB=∠EAC,AB=AC,

∴△ADB≌△AEC(SAS),

∴∠ABD=∠ACE,

∵∠ABD=∠BAC+∠ACB,∠ACE=∠BCE+∠ACB,

∴∠BAC=∠BCE,

即α=β.

“點睛”本題考查三角形全等的判定,以及全等三角形的性質(zhì);兩者綜合運用,促進(jìn)角與角相互轉(zhuǎn)換,將未知角轉(zhuǎn)化為已知角是關(guān)鍵.本題的亮點是由特例引出一般情況.

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小明遇到這樣一個問題:

如圖1,ABC中,A=90°,B=30°,點D,E分別在AB,BC上,且CDE=90°.當(dāng)BE=2AD時,圖1中是否存在與CD相等的線段?若存在,請找出并加以證明,若不存在,說明理由.

小明通過探究發(fā)現(xiàn),過點E作AB的垂線EF,垂足為F,能得到一對全等三角形(如圖2),從而將解決問題.

請回答:

(1)小明發(fā)現(xiàn)的與CD相等的線段是

(2)證明小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;

參考小明思考問題的方法,解決下面的問題:

(3)如圖3,ABC中,AB=AC,BAC=90°,點D在BC上,BD=2DC,點E在AD上,且BEC=135°,求的值.

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(1)當(dāng)x=3時,線段PQ的長為
(2)當(dāng)P,Q兩點第一次重合時,求線段BQ的長.
(3)是否存在某一時刻,使點Q恰好落在線段AP的中點上?若存在,請求出所有滿足條件的x的值;若不存在,請說明理由.

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