Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b（b≠0）的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，已知OA=，tan∠AOC=，且S_△AOD=1．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△OAB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）過A作AE垂直于x軸，與x軸交于E點(diǎn)，在直角三角形AOE中，由tan∠AOC的值，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義設(shè)AE=m，則有OE=2m，由OA的長(zhǎng)，利用勾股定理列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，確定出A的坐標(biāo)，代入反比例解析式中，求出k的值，得到反比例解析式，由三角形AOD的面積等于OD與OE乘積的一半，根據(jù)已知的面積與OE的長(zhǎng)，求出OD的長(zhǎng)，確定出D的坐標(biāo)，將A和D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，求出a與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）將一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立求出交點(diǎn)B的坐標(biāo)，令一次函數(shù)中y=0，求出對(duì)應(yīng)x的值，確定出C的坐標(biāo)，三角形AOB的面積=三角形BOC的面積+三角形AOC的面積，求出即可．
解答：解：（1）過A作AE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E，
在Rt△AOE中，OA=，tan∠AOC=，
設(shè)AE=m，則OE=2m，
根據(jù)勾股定理得：OA²=OE²+AE²，即m²+4m²=5，
解得：m=1或m=-1（舍去），
∴AE=1，OE=2，即A（2，-1），
將x=2，y=-1代入反比例解析式得：-1=，
解得：k=-2，
∴反比例解析式為y=-；
∵S_△AOD=OD•OE=1，OE=2，
∴OD=1，即D（0，1），
將A和D坐標(biāo)代入y=ax+b中得：
，
解得：，
則一次函數(shù)解析式為y=-x+1；

（2）對(duì)于一次函數(shù)y=-x+1，
令y=0，求得x=1，故C（1，0），即OC=1，
將一次函數(shù)與反比例函數(shù)聯(lián)立得：
，
解得：或，
∴B（-1，2），
則S_△AOB=S_△BOC+S_△AOC=×1×2+×1×1=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及的知識(shí)有：勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，是常用的一種解題方法．同學(xué)們要熟練掌握這種方法．