Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半徑為1的圓A與邊AB相交于點D，與邊AC相交于點E，連接DE并延長，與線段BC的延長線交于點P．
（1）當∠B=30°時，連接AP，若△AEP與△BDP相似，求CE的長；
（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；
（3）若tan∠BPD=，設CE=x，△ABC的周長為y，求y關于x的函數(shù)關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）當∠B=30°時，∠A=60°，此時△ADE是等邊三角形，則∠PEC=∠AED=60°，由此可證得∠P=∠B=30°；若△AEP與△BDP相似，那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°，此時EP=EA=1，即可在Rt△PEC中求得CE的長；
（2）若BD=BC，可在Rt△ABC中，由勾股定理求得BD、BC的長；過C作CF∥DP交AB于F，易證得△ADE∽△AFC，根據(jù)得到的比例線段可求出DF的長；進而可通過證△BCF∽△BPD，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例求得BP、BC的比例關系，進而求出BP、CP的長；在Rt△CEP中，根據(jù)求得的CP的長及已知的CE的長即可得到∠BPD的正切值；
（3）過點D作DQ⊥AC于Q，可用未知數(shù)表示出QE的長，根據(jù)∠BPD（即∠EDQ）的正切值即可求出DQ的長；在Rt△ADQ中，可用QE表示出AQ的長，由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的長；易證得△ADQ∽△ABC，根據(jù)得到的比例線段可求出BD、BC的表達式，進而可根據(jù)三角形周長的計算方法得到y(tǒng)、x的函數(shù)關系式．
解答：解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=60°．
∵AD=AE，
∴∠AED=∠CEP=60°，
∴∠EPC=30°．
∴△BDP為等腰三角形．
∵△AEP與△BDP相似，
∴∠EPA=∠DPB=30°，
∴AE=EP=1．
∴在Rt△ECP中，EC=EP=；

（2）設BD=BC=x．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得：
（x+1）²=x²+（2+1）²，
解之得x=4，即BC=4．
過點C作CF∥DP．
∴△ADE與△AFC相似，
∴，即AF=AC，即DF=EC=2，
∴BF=DF=2．
∵△BFC與△BDP相似，
∴，即：BC=CP=4．
∴tan∠BPD=．

（3）過D點作DQ⊥AC于點Q．
則△DQE與△PCE相似，設AQ=a，則QE=1-a．
∴且，
∴DQ=3（1-a）．
∵在Rt△ADQ中，據(jù)勾股定理得：AD²=AQ²+DQ²
即：1²=a²+[3（1-a）]²，
解之得．
∵△ADQ與△ABC相似，
∴．
∴．
∴△ABC的周長，
即：y=3+3x，其中x＞0．
點評：此題主要考查了直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質以及勾股定理等知識的綜合應用能力，難度較大．