Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的頂點(diǎn)為C（1，4），交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn) D，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)G為直線PQ上的一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H，使D、G、H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小；若存在，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

（3）如圖3，在拋物線上是否存在一點(diǎn)T，過點(diǎn)T作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥BD，交線段AD于點(diǎn)N，連接MD，使△DNM∽△BMD。若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y＝－(x－1)2＋4；（2）四邊形DFHG的周長(zhǎng)最小為；（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為（， ）

【解析】試題分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為： 然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得此拋物線的解析式；
（2）作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，交對(duì)稱軸于 ，四邊形的周長(zhǎng)即為最小，則根據(jù)題意即可求得這個(gè)最小值及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）首先設(shè)的坐標(biāo)為 求得與的長(zhǎng)，由平行線分線段成比例定理，求得的長(zhǎng)，然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得 則可得到關(guān)于的一元二次方程，解方程即可求得答案．

試題解析：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為： 依題意，將點(diǎn)代入，得：

解得：

∴所求拋物線的解析式為：

存在.如圖，

拋物線的對(duì)稱軸方程為：x=1，

∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，

∴y=4+4+3=3，

∴點(diǎn)E(2,3)，

∴設(shè)直線AE的解析式為：y=kx+b，

∴直線AE的解析式為：y=x+1，

∴點(diǎn)F(0,1)，

∵D(0,3)，

∴D與E關(guān)于x=1對(duì)稱,

作F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F′(0,1)，

連接EF′交x軸于H，交對(duì)稱軸x=1于G，

四邊形DFHG的周長(zhǎng)即為最小，

設(shè)直線EF′的解析式為：y=mx+n，

解得：

∴直線EF′的解析式為：y=2x1，

∴當(dāng)y=0時(shí),2x1=0,得

即

當(dāng)x=1時(shí)，y=1，

∴G(1,1)；

∴DF=2,

∴使D.G,H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小值為：

(3)存在.

設(shè)M(c,0)，

即

要使△DNM∽△BMD，

需 即

可得：

解得： 或c=3(舍去).

當(dāng)時(shí),

∴存在,點(diǎn)T的坐標(biāo)為