Question

已知：如圖，AF為△ABC的角平分線，以BC為直徑的圓與邊AB交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為弧BD的中點(diǎn)，連接CE交AB于H，AH=AC．
（1）求證：AC與⊙O相切；
（2）若AC=6，AB=10，求EC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接BE
∵BC為直徑∴∠E=90°，
∴∠EBH+∠EHB=90°，
∵AH=AC，AF為△ABC的角平分線，
∴∠AHC=∠ACH，
∵∠AHC=∠EHB，
∴∠EHB=∠ACH，
∵點(diǎn)E為弧BD的中點(diǎn)，
∴∠ECB=∠DBE，
∴∠ECB+∠ACH=90°，
∴AC是⊙O的切線；



（2）∵AC是⊙O的切線，
∴∠ACB=90°，
∵AC=6，AB=10，
∴BC=8，
∵AH=AC，
∴BH=4，
又∵∠ECB=∠DBE，∠E為公共角，
∴△BEH∽△CEB，
∴

BE

EC

=

BH

CB

=

4

8

=

1

2

，
∴在Rt△EBC中，可得EC2+(

1

2

EC)2=BC2，
∴EC=

16 5

5

．