Question

（2012•東莞模擬）閱讀理解題：定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于-1，記為i²=-1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位．那么和我們所學(xué)的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)就叫做復(fù)數(shù)，表示為a+bi（a，b為實(shí)數(shù)），a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似．
例如計(jì)算：
（1）（5+i）（3-4i）=5×3+5×（-4i）+3i-4i²=15-20i+3i-4×（-1）=19-17i
（2）（5+i）（5-i）=5²-i²=25-（-1）=26
解答下面問(wèn)題：
（1）化簡(jiǎn)：i³=

-i

，i⁴=

1

；
（2）計(jì)算：（3+i）²；
（3）試一試：將

2+i

2-i

化簡(jiǎn)成a+bi的形式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)i²=-1把i³化為i²•i，把i⁴化為i²•i²進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)平方差公式把原式化為

(2+i)2

(2-i)(2+i)

的形式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵i²=-1，
∴i³=i²•i=-i；i⁴=i²•i²=（-1）×（-1）=1；
故答案為：-i，1；

（2）原式=（3+i）²
=9+i²+6i
=9-1+6i
=8+6i；

（3）原式=

(2+i)2

(2-i)(2+i)

=

4+i2+4i

4-i2

=

4-1+4i

4+1

=

3+4i

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，在解答此題時(shí)要注意平方差公式及完全平方公式的靈活運(yùn)用．