Question

（2013•蘇州一模）如圖①中，PB切半⊙O于B點，AB為直徑，PA交⊙O于D點，連結(jié)BD，OD，已知圖①中測得PD=2，AD=8．
（1）在圖①中，求證：∠P=∠ODB；
（2）在圖①中，求⊙O的半徑；
（3）小軍繼續(xù)進行探究，在圖①中保持⊙O的半徑不變，且∠P的大小也不改變移動P點至圖②位置，在移動過程中，小軍發(fā)現(xiàn)DC的長度不改變，請求出DC的長度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得∠PBA=90°，根據(jù)圓周角定理的推論得到∠ADB=90°，再利用等角的余角相等得∠P=∠ABD，由OD=OB得∠OBD=∠ODB，然后利用等量代換即可得到∠P=∠ODB；
（2）易證得△ABD∽△APB，利用AD：AB=AB：AP可計算出AB，則即可得到⊙O的半徑；
（3）先在圖①中計算出cosP=

5

5

，在圖②中，作OH⊥DC于H，連結(jié)AC，根據(jù)垂徑定理得DH=CH，由AB為直徑得∠ACB=90°，由于∠P的大小不改變，則可判斷∠PAC的大小也不改變，根據(jù)圓周角定理可判斷DC的長度不改變，且∠DOC=2∠1，而∠DOC=2∠2，則∠1=∠2，根據(jù)等角的余角相等得∠P=∠ODH，所以cos∠ODH=cos∠P=

5

5

，然后在Rt△OHD中利用余弦定理可計算出DH，則即可得到DC的長．

解答：（1）證明：如圖①，
∵PB切半⊙O于B點，
∴PB⊥AB，
∴∠PBA=90°，
∴∠ABD+∠DBP=90°，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠P+∠DBP=90°，
∴∠P=∠ABD，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠P=∠ODB；

（2）解：如圖①，
∵∠ADB=∠ABP=90°，
而∠DAB=∠BAP，
∴△ABD∽△APB，
∴AD：AB=AB：AP，
∴AB²=AD•AP=AD•（AD+PD）=8×10，
∴AB=4

5

，
∴⊙O的半徑為2

5

；

（3）解：在圖①中，PB=

PA2-AB2

=2

5

cosP=

PB

PA

=

2 5

10

=

5

5

，
在圖②中，作OH⊥DC于H，連結(jié)AC，則DH=CH，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠P的大小不改變，
∴∠PAC的大小也不改變，
∴DC的長度不改變，
∵∠DOC=2∠1，
而∠DOC=2∠2，
∴∠1=∠2，
∴∠P=∠ODH，
∴cos∠ODH=cos∠P=

5

5

，
而OD=2

5

，
∴cos∠ODH=

DH

OD

=

5

5

，
∴DH=2，
∴DC=2DH=4．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論和切線的性質(zhì)，且運用它們進行幾何證明；會利用相似比、勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義進行幾何計算．