Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= （e為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線4x+3ey+1=0互相垂直． （Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若對任意x∈（ ，+∞），（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)g（x）= ，Tn=1+2[g（ ）+g（ ）+g（ ）+…+g（ ）]（n=2，3…）．問：是否存在正常數(shù)M，對任意給定的正整數(shù)n（n≥2），都有 + + +…+ ＜M成立？若存在，求M的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） = 依題意曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線4x+3ey+1=0互相垂直．
得： ，
∴a=0，
（Ⅱ）對任意的 ，（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立．
等價于xex﹣m（2x﹣1）≥0對 恒成立，
即 對 恒成立
令 ，則m≤t（x）最小
∵
由t′（x）=0得：x=1或 （舍去）
當(dāng) 時，t′（x）＜0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，t′（x）＞0
∴t（x）在 上遞減，在（1，+∞）上遞增
∴t（x）最小=t（1）=e，
∴m≤e．
（Ⅲ） = ，
，
∴ ，
因此有
由 ，

得2Tn=2+2[1+1+…+1]=2+2（n﹣1）=2n，∴Tn=n．
，取n=2m（m∈N*），
則 = = ，
當(dāng)m趨向于+∞時， 趨向于+∞．
所以，不存在正常數(shù)M，對任意給定的正整數(shù)n（n≥2），
都有 成立
【解析】（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，利用條件列出方程，即可求實數(shù)a的值；（Ⅱ）轉(zhuǎn)化條件為對 恒成立，即 對 恒成立，構(gòu)造函數(shù) ，求出t（x）最小 ， 即可得到實數(shù)m的取值范圍．（Ⅲ）通過 ，推出 ，化簡 ，推出Tn=n．然后求解 ，取n=2m（m∈N*），利用放縮法推出 ≥ ，當(dāng)m趨向于+∞時， 趨向于+∞．然后說明結(jié)果．