Question

如圖1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以O(shè)B為一邊，在△OAB外作等邊三角形OBC，D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交OC于E．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；
（3）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG，求OG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)，即可求得AB與OA的長(zhǎng)，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）首先可得CE∥AB，D是OB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可證得BD=AD，∠ADB=60°，又由△OBC是等邊三角形，可得∠ADB=∠OBC，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可證得BC∥AE，繼而可得四邊形ABCD是平行四邊形；
（3）首先設(shè)OG的長(zhǎng)為x，由折疊的性質(zhì)可得：AG=CG=8-x，然后根據(jù)勾股定理可得方程（8-x）²=x²+（4

3

）²，解此方程即可求得OG的長(zhǎng)．

解答：（1）解：在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，
∴OA=OB•cos30°=8×

3

2

=4

3

，
AB=OB•sin30°=8×

1

2

=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4

3

，4）；

（2）證明：∵∠OAB=90°，
∴AB⊥x軸，
∵y軸⊥x軸，
∴AB∥y軸，即AB∥CE，
∵∠AOB=30°，
∴∠OBA=60°，
∵DB=DO=4
∴DB=AB=4
∴∠BDA=∠BAD=120°÷2=60°，
∴∠ADB=60°，
∵△OBC是等邊三角形，
∴∠OBC=60°，
∴∠ADB=∠OBC，
即AD∥BC，
∴四邊形ABCE是平行四邊形；

（3）解：設(shè)OG的長(zhǎng)為x，
∵OC=OB=8，
∴CG=8-x，
由折疊的性質(zhì)可得：AG=CG=8-x，
在Rt△AOG中，AG²=OG²+OA²，
即（8-x）²=x²+（4

3

）²，
解得：x=1，
即OG=1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，注意折疊中的對(duì)應(yīng)關(guān)系．