Question

如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，直線y=

1

2

x+4的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A點(diǎn)（8，8），直線與x軸的交點(diǎn)為C，與y軸的交點(diǎn)為B．
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)與這個二次函數(shù)的解析式；
（2）P為線段AB上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），過P點(diǎn)作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于D點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)E．設(shè)該線段PD的長為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，求h與t之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，得出二次函數(shù)的一般解析式y(tǒng)=ax²，將（8，8）代入即可；
（2）直接表示出PE與DE的長度從而得出PD的長，即可得出解析式；
（3）分別為當(dāng)∠PDB=∠BOC=90°時與當(dāng)∠PDB=∠BOC=90°時，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）令x=0，代入y=

1

2

x+4，
∴y=4，
∴B（0，4）．
設(shè)y=ax²，把（8，8）代入得：8²•a=8，
∴a=

1

8

，
∴y=

1

8

x2，

（2）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，
∴PE=

1

2

t+4；DE=

1

8

t2．
∴PD=PE-DE=

1

2

t+4-

1

8

t2，
∴h=-

1

8

t2+

1

2

t+4(0＜t＜8)；


（3）存在，
①當(dāng)∠PDB=∠BOC=90°時，
∴BD∥CE，
∴∠PBD=∠BCO．
∴△PDB∽△BOC，
∴

PD

BO

=

BD

CO

．
令y=

1

2

x=4=0，得x=-8，
∴C（-8，0），
∴CO=8．
∴

- 1 8 t2+ 1 2 t+4

4

=

t

8

．
化簡得：t²=32．
解得：t1=4

2

；t2=-4

2

＜0（不合題意，舍去）．
把t1=4

2

代入y=

1

2

x+4，
得y=2

2

+4．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4

2

，2

2

+4)．
②當(dāng)∠PBD=∠BOC=90°時，
∵PD∥BO，∴∠DPB=∠CBO．
∴△PBD∽△BOC．
過點(diǎn)D作DF⊥OB，
∵∠DPB+∠PDB=90°，∠BDF+∠PDB=90°，
∴∠BDF=∠DPB=∠CBO．
∵∠BFD=∠COB，
△DFB∽△BOC，
∵BF=BO-OF=4-

1

8

t2，
∴

DF

BO

=

BF

CO

，
∴

t

4

=

4- 1 8 t2

8

．
化簡得：t²+16t-32=0．
解得：t1=-8+4

6

；t2=-8-4

6

＜0（不合題意，舍去）
把t1=-8+4

6

代入y=

1

2

x+4，
得：y=2

6

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-8+4

6

，2

6

)，
∴當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-8+4

6

，2

6

)或(4

2

，2

2

+4)時
以點(diǎn)P．D．B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定等知識，熟練應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．