Question

如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A₁，∠A₁BC的平分線與∠A₁CD的平分線交于點(diǎn)A₂，依此類推…．已知∠A=α，則∠A_n的度數(shù)為

α

2n

（用含n、α的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：由三角形的外角性質(zhì)知：∠A=∠ACD-∠ABC，而∠A₁=

1

2

（∠ACD-∠ABC），即∠A₁=

1

2

∠A，同理可得，∠A₂=

1

2

∠A₁，依此類推即可．

解答：解：△ABC中，∵∠A=∠ACD-∠ABC，A₁是∠ABC角平分與∠ACD的平分線的交點(diǎn)，∠A=α，
∴∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BC=

1

2

（∠ACD-∠ABC）=

1

2

∠A；
同理可得，∠A₂=

1

2

∠A₁=

1

22

∠A，
∠A₃=

1

2

∠A₂=

1

23

∠A，
…
依此類推，∠A_n=

1

2n

∠A，即∠A_n=

α

2n

．
故答案為：

α

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．