【題目】如圖,正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,延長CB至點F,使CF=CA,連接AF,∠ACF的平分線分別交AF,AB,BD于點E,N,M,連接EO.

(1)已知BD=,求正方形ABCD的邊長;

(2)猜想線段EM與CN的數(shù)量關系并加以證明.

【答案】(1)1;(2)CN=CM,理由詳見解析.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得ABD是等腰直角三角形,再由勾股定理可得2AB2=BD2,即可求得AB=1;(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CEAF,再證得BAF=BCN,利用AAS證得ABF≌△CBN,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF=CN,再證ABF∽△COM,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)即可證得CN=CM.

試題解析:(1)四邊形ABCD是正方形,

∴△ABD是等腰直角三角形,

2AB2=BD2,

BD=,

AB=1,

正方形ABCD的邊長為1;

(2)CN=CM.

證明:CF=CA,AF是ACF的平分線,

CEAF,

∴∠AEN=CBN=90°,

∵∠ANE=CNB,

∴∠BAF=BCN,

ABF和CBN中,

∴△ABF≌△CBN(AAS),

AF=CN,

∵∠BAF=BCN,ACN=BCN,

∴∠BAF=OCM,

四邊形ABCD是正方形,

ACBD,

∴∠ABF=COM=90°,

∴△ABF∽△COM,

=,

==,

即CN=CM.

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