Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，tan∠BAC=，將∠ABC對折，使點C的對應(yīng)點H恰好落在直線AB上，折痕交AC于點O，以點O為坐標原點，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標系．
（1）求過A、B、O三點的拋物線解析式；
（2）若在線段AB上有一動點P，過P點作x軸的垂線，交拋物線于M，設(shè)PM的長度等于d，試探究d有無最大值？如果有，請求出最大值，如果沒有，請說明理由．
（3）若在拋物線上有一點E，在對稱軸上有一點F，且以O(shè)、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，試求出點E的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先利用勾股定理求出AB的長，再利用在Rt△AOH 中，OH²+AH²=OA²，即m²+2²=（4-m）²，求出m的值，進而得出O，A，B的坐標，再利用交點式求出拋物線解析式即可；
（2）首先求出AB解析式，表示出P，M坐標，進而得出關(guān)于PM的解析式，即可得出二次函數(shù)最值；
（3）①當AO為平行四邊形的對角線時，拋物線的頂點D以及點D關(guān)于x軸對稱的點F與A、O四點為頂點的四邊形一定是平行四邊形．
②當AO為平行四邊形的邊時，分別得出E點坐標即可．
解答：解：（1）在Rt△ABC 中，
∵BC=3，tan∠BAC=，
∴AC=4．
∴AB=．
設(shè)OC=m，連接OH，如圖，由對稱性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，
∴AH=AB-BH=2，OA=4-m．
∴在Rt△AOH 中，OH²+AH²=OA²，即m²+2²=（4-m）²，得 m=．
∴OC=，OA=AC-OC=，
∴O（0，0）A（，0），B（-，3）．
設(shè)過A、B、O三點的拋物線的解析式為：y=ax（x-）．
把x=，y=3代入解析式，得a=．
∴y=x（x-）=．
即過A、B、O三點的拋物線的解析式為y=．

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得：

解之得：，
∴直線AB的解析式為y=．
設(shè)動點P（t，），則M（t，）．
∴d=（）-（）=-=
∴當t=時，d有最大值，最大值為2．

（3）設(shè)拋物線y=的頂點為D．
∵y==，
∴拋物線的對稱軸x=，頂點D（，-）．
根據(jù)拋物線的對稱性，A、O兩點關(guān)于對稱軸對稱．
①當AO為平行四邊形的對角線時，拋物線的頂點D以及點D關(guān)于x軸對稱的點F與A、O四點為頂點的四邊形一定是平行四邊形．
這時點D即為點E，所以E點坐標為（）．
②當AO為平行四邊形的邊時，由OA=，知拋物線存在點E的橫坐標為或，即或，
分別把x=和x=代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=中，得點
E（，）或E（-，）．
所以在拋物線上存在三個點：E₁（，-），E₂（，），E₃（-，），使以O(shè)、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和平行四邊形的性質(zhì)等知識，得出A，B點的坐標是解題關(guān)鍵．