Question

【題目】將一個直角三角形紙片ABO，放置在平面直角坐標系中，點A（ ，0），點B（0，1），點0（0，0）．過邊OA上的動點M（點M不與點O，A重合）作MN丄AB于點N，沿著MN折疊該紙片，得頂點A的對應點A′，設OM=m，折疊后的△AM′N與四邊形OMNB重疊部分的面積為S．

（1）如圖①，當點A′與頂點B重合時，求點M的坐標；
（2）如圖②，當點A′，落在第二象限時，A′M與OB相交于點C，試用含m的式子表示S；
（3）當S= 時，求點M的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△ABO中，點A（ ，0），點B（0，1），點O（0，0），

∴OA= ，OB=1，

由OM=m，可得：AM=OA﹣OM= ﹣m，

根據(jù)題意，由折疊可知△BMN≌△AMN，

∴BM=AM= ﹣m，

在Rt△MOB中，由勾股定理，BM2=OB2+OM2，

可得： ，解得m= ，

∴點M的坐標為（ ，0）；

（2）

解：在Rt△ABO中，tan∠OAB= ，

∴∠OAB=30°，

由MN⊥AB，可得：∠MNA=90°，

∴在Rt△AMN中，MN=ANsin∠OAB= ，

AN=ANcos∠OAB= ，

∴ ，

由折疊可知△A'MN≌△AMN，則∠A'=∠OAB=30°，

∴∠A'MO=∠A'+∠OAB=60°，

∴在Rt△COM中，可得CO=OMtan∠A'MO= m，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

即 ；

（3）

解：①當點A′落在第二象限時，把S的值代入（2）中的函數(shù)關系式中，解方程求得m，根據(jù)m的取值范圍判斷取舍，兩個根都舍去了；

②當點A′落在第一象限時，則S=SRt△AMN，根據(jù)（2）中Rt△AMN的面積列方程求解，根據(jù)此時m的取值范圍，把S= 代入，可得點M的坐標為（ ，0）．

【解析】（1）根據(jù)折疊的性質得出BM=AM，再由勾股定理進行解答即可；（2）根據(jù)勾股定理和三角形的面積得出△AMN，△COM和△ABO的面積，進而表示出S的代數(shù)式即可；（3）把S= 代入解答即可．
【考點精析】關于本題考查的翻折變換（折疊問題），需要了解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等才能得出正確答案．