Question

【題目】如圖所示，已知正方形ABCD，直角三角形紙板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，紙板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，直角三角形紙板的一邊與直線CD交于E，分別過B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G．
（1）當(dāng)點(diǎn)E在DC延長(zhǎng)線時(shí)，如圖①，求證：BF=DG﹣FG；
（2）將圖①中的三角板繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得圖②、圖③，此時(shí)BF、FG、DG之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論（不必證明）

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖①，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G．

∴∠AFB=∠DGA=90°，

∵∠BAF+∠GAD=90°，∠BAF+∠ABF=90°

∴∠ABF=∠GAD，

在△ABF和△ADG中，

，

∴△ABF≌△ADG（AAS），

∴BF=AG，AF=DG，

∵AG=AF﹣FG；

∴BF=DG﹣FG

（2）證明：如圖②，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G．

∴∠AFB=∠DGA=90°，

∵∠BAF+∠GAD=90°，∠BAF+∠ABF=90°

∴∠ABF=∠DAG，

在△ABF和△ADG中，

，

∴△ABF≌△ADG（AAS），

∴BF=AG，AF=DG，

∵AG=AF+FG；

∴BF=DG+FG；

如圖③，∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G．

∴∠AFB=∠DGA=90°，

∵∠BAF+∠GAD=90°，∠BAF+∠ABF=90°

∴∠ABF=∠DAG，

在△ABF和△ADG中，

，

∴△ABF≌△ADG（AAS），

∴BF=AG，AF=DG，

∵AG=FG﹣AF；

∴BF=FG﹣DG．

【解析】（1）如圖①，由四邊形ABCD是正方形，可得AB=AD，由B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G．可得∠AFB=∠DGA=90°由角的關(guān)系可得∠ABF=∠GAD，可得△ABF≌△ADG可得BF=AG，AF=DG，利用AG=AF﹣FG；即可證得BF=DG﹣FG；（2）如圖②，由四邊形ABCD是正方形，可得AB=AD，由B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G．可得∠AFB=∠DGA=90°由角的關(guān)系可得∠ABF=∠GAD，可得△ABF≌△ADG可得BF=AG，AF=DG，利用AG=AF+FG，可得BF=DG+FG；如圖③，由四邊形ABCD是正方形，可得AB=AD，由B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G．可得∠AFB=∠DGA=90°由角的關(guān)系可得∠ABF=∠GAD，可得△ABF≌△ADG可得BF=AG，AF=DG，利用AG=FG﹣AF，可得BF=FG﹣DG．