Question

如圖，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1,AB=CD=．在矩形ABCD的邊AB上取一點M，在CD上取一點N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點K，得到△MNK．

（1）若∠1=70°，求∠MKN的度數．
（2）△MNK的面積能否小于？若能，求出此時∠1的度數；若不能，試說明理由．
（3）如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請你利用備用圖探究可能出現的情況，求出最大值及∠1的度數。

Answer 1

解：（1）∵ABCD是矩形，∴AM∥DN，


∴∠KNM=∠1．    ∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN． ∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=70°．∴∠MKN=40°．  （2分）                     
（2）不能．                            （3分）
由折疊∠1=∠NMK,又DN∥AM, ∠MNK=∠1,于是∠MNK=∠NMK，所以KN="KM," △MNK的面積=KN=,所以KM最小值為1，即KM⊥AM,所以∠MNK=∠1=45°，此時△MNK的面積最小為，所以此三角形面積不能小于          （5分）
（3）△MNK的面積最大,只需KN最大，又KN=KM最大，于是可以有兩種方法折疊，如圖，
情形1，將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點K也與點D    重合，設MK=MD=x,則AM=- x,由勾股定理，得
，
1+,所以
 Sin∠AMD=
∠AMD=45°, ∠1=67.5°                          （8分）
情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕為AC．
設MK=AK= CK=x，則DK=-x，同理可得
即MK=NK=
∴
Sin∠AKD=, ∠AKD=45°, ∠1=22.5°
∴△MNK的面積最大值為,∠1=67.5°或22.5°       （10分）

利用折疊的性質求解