Question

在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是在線段BC上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），∠BPE=∠BCA，PE交BO于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點(diǎn)G．
（1）若ABCD為正方形，
①如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)．△BOG是否可由△POE通過某種圖形變換得到？證明你的結(jié)論；
②結(jié)合圖（2）求的值；
（2）如圖（3），若ABCD為菱形，記∠BCA=α，請?zhí)骄坎⒅苯訉懗?img class='latex' alt='數(shù)學(xué)公式' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/471836.png' />的值．（用含α的式子表示）

Answer 1

（1）△BOG可由△POE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．
證明：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，P與C重合，
∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°．
∵PF⊥BG，∠PFB=90°，
∴∠GBO=90°-∠BGO，
∠EPO=90°-∠BGO，
∴∠GBO=∠EPO，
在△BOG和△POE中

∴△BOG≌△POE．
∴OE=OG，
又∵∠EOG=90°，
∴將線段OE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°就得到OG．
又∵OB=OP，∠POB=90°，
∴將線段OP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°就得到OB．
∴△BOG可由△POE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．

（2）如圖2，作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB，
∵∠OBC=∠OCB=45°，∴∠NBP=∠NPB，
∴NB=NP．
∵∠MBN=90°-∠BMN，∠NPE=90°-∠BMN，
∴∠MBN=∠NPE，
在△BMN和△PEN中

∴△BMN≌△PEN，
∴BM=PE．
∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，
∴∠BPF=∠MPF．
∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90°．
又∵在△BPF和△MPF中

∴△BPF≌△MPF，
∴BF=MF，即BF=BM，
∴BF=PE，即=．


（3）如圖2，過P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
∴∠BPN=∠BCA，
∵∠BPE=∠BCA，
∴∠BPF=∠MPF，
∵PF⊥BG，
∴∠BFP=∠MFP，
在△BFP和△MFP中

∴△BFP≌△MFP（ASA），
∴BF=FM，
即BF=BM，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴DB⊥AC，
∵PM∥AC，
∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°，
∴∠BNM=90°
∵∠PFM=90°，
∴∠MBN+∠BMN=90°，∠MPF+∠BMN=90°，
∴∠MBN=∠NPE，
∵∠BNM=∠ENP，
∴△BMN∽△PEN．
∴=，
∵tanα===，
∴=tanα．
分析：（1）△BOG可由△POE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，求出△BOG≌△POE即可；
（2）作PM∥AC交BG于M，交BO于N，求出證△BMN≌△PEN，推出BM=PE，證△BPF≌△MPF，推出BF=FM，即可求出答案；
（3）作PM∥AC交BG于M，交BO于N，求出證△BMN≌△PEN，推出BM=PE，證△BPF∽△MPF，得出比例式，根據(jù)銳角三角形函數(shù)的定義即可求出答案．
點(diǎn)評：本題考查了正方形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)的定義等知識點(diǎn)的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．