Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．
（Ⅰ）如圖①，若半徑為r₁的⊙O₁是Rt△ABC的內(nèi)切圓，求r₁；
（Ⅱ）如圖②，若半徑為r₂的兩個(gè)等圓⊙O₁、⊙O₂外切，且⊙O₁與AC、AB相切，⊙O₂與BC、AB相切，求r₂；
（Ⅲ）如圖③，當(dāng)n大于2的正整數(shù)時(shí)，若半徑r_n的n個(gè)等圓⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n依次外切，且⊙O₁與AC、BC相切，⊙O_n與BC、AB相切，⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、…、⊙O_n-1均與AB邊相切，求r_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接三角形的內(nèi)心和三角形的各個(gè)頂點(diǎn)，根據(jù)三角形的總面積等于分割成的三個(gè)小三角形的面積，進(jìn)行計(jì)算；
（II）連接兩圓的圓心和每個(gè)圓的圓心和三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，把大三角形分割成了三個(gè)三角形和一個(gè)梯形，根據(jù)三角形的總面積等于四部分的面積的和，進(jìn)行計(jì)算；
（III）連接第一個(gè)圓和最后一個(gè)圓的圓心，以及兩個(gè)圓的圓心和三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，根據(jù)（II）的思路進(jìn)行計(jì)算．
解答：解：（I）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10．
如圖1，設(shè)⊙O₁與Rt△ABC的邊AB，BC，CA分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．
連接O₁D，O₁E，O₁F，AO₁，BO₁，CO₁．
于是O₁D⊥AB，O₁E⊥BC，O₁F⊥AC．
，，，．
又∵，
∴24=3r₁+4r₁+5r₁，
∴r₁=2．

（II）如圖2，連接AO₁，BO₂，CO₁，CO₂，O₁O₂，則
，．
∵等圓⊙O₁，⊙O₂外切，
∴O₁O₂=2r₂，且O₁O₂∥AB．
過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，交O₁O₂于點(diǎn)N，則
，．
∴，
∴．
∵，
∴3r₂+4r₂+（-r₂）•r₂+（r₂+5）r₂=24，
解得r₂=．

（III）如圖3，連接AO₁，BO_n，CO₁，CO_n，O₁O_n，則
，．
∵等圓⊙O₁，⊙O₂，…，⊙O_n依次外切，且均與AB邊相切，
∴O₁，O₂，…，O_n均在直線O₁O_n上，且O₁O_n∥AB，
∴O₁O_n=（n-2）2r_n+2r_n=2（n-1）r_n．
過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，交O₁O_n于點(diǎn)K，
則．
，．
∵，
∴．
解得．
點(diǎn)評(píng)：解決此題的方法是根據(jù)三角形的面積的不同計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算．注意：直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊．