Question

（2013•朝陽）如圖，三角形ABC中，∠A的平分線交BC于點D，過點D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，下面四個結(jié)論：
①∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③

S△BFD

S△CED

=

BF

CE

；④EF一定平行BC．
其中正確的是（　　）

A．①②③

B．②③④

C．①③④

D．①②③④

Answer 1

分析：由三角形ABC中，∠A的平分線交BC于點D，過點D作DE⊥AC，DF⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得DE=DF，∠ADE=∠ADF，又由角平分線的性質(zhì)，可得AF=AE，繼而證得①∠AFE=∠AEF；又由線段垂直平分線的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利用三角形的面積公式求解即可得③

S△BFD

S△CED

=

BF

CE

．

解答：解：①∵三角形ABC中，∠A的平分線交BC于點D，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠ADE=∠ADF，DF=DE，
∴AF=AE，
∴∠AFE=∠AEF，故正確；
②∵DF=DE，AF=AE，
∴點D在EF的垂直平分線上，點A在EF的垂直平分線上，
∴AD垂直平分EF，故正確；
③∵S_△BFD=

1

2

BF•DF，S_△CDE=

1

2

CE•DE，DF=DE，
∴

S△BFD

S△CED

=

BF

CE

；故正確；
④∵∠EFD不一定等于∠BDF，
∴EF不一定平行BC．故錯誤．
故選A．

點評：此題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．