Question

如圖，在半徑為5的⊙O中，直徑AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，已知BC：CA=4：3，點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，求CP的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求CP的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求CP的長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱，根據(jù)垂徑定理，即可得CD=PD，又由AB為⊙O的直徑，即可得∠ACB是直角，然后根據(jù)勾股定理與相交弦定理，即可求得CP的長(zhǎng)；
（2）首先連接PB，過點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E，由點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理，即可求得PB的長(zhǎng)，∠BCP的度數(shù)，由勾股定理，求得BE的長(zhǎng)，繼而求得CP的長(zhǎng)；
（3）由點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有 CP＞CA，當(dāng)CP過圓心O，即PC取最大值10，則可求得CP的長(zhǎng)的取值范圍．
解答：解：（1）∵點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱，
∴CP⊥AB，設(shè)垂足為D．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴AB=10，BC：CA=4：3，
∴BC=8，AC=6．
又∵AC•BC=AB•CD，
∴CD=4.8，
∴CP=2CD=9.6；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，連接PB，過點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E．
∵P是弧AB的中點(diǎn)，
∴AP=BP=5，∠ACP=∠BCP=45°，
∵BC=8，
∴CE=BE=4，
∴PB=5，
∴PE==3，
∴CP=CE+PE=7；

（3）點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有 CP＞CA，
即CP＞6，
當(dāng)CP過圓心O，即PC取最大值10，
∴CP的取值范圍是6＜CP≤10．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及相交弦定理等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．