【題目】已知:在△ABC中,∠ABC=3∠C,∠BAC的平分線ADBCD,BEADE

(1)如圖l,求證:ACAB=2BE

(2)如圖2,將∠DCA沿直線AC翻折,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連接MDAC于點(diǎn)NMABA,BE=1,AB,求AN的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)2-.

【解析】

1)延長(zhǎng)BEACF.由AD平分BAC∠1∠2,再由BEAD及公共邊AE可證AEB≌△AEF,由全等的性質(zhì)可知ABAF,∠3∠4,BEFE,則BF2BE;由三角形外角和可知∠4∠5+∠C,則ABC∠3+∠5=∠4+∠5=2∠5+∠C,再由ABC3∠C可知∠5C,則CFBF2BE,據(jù)此即可證明;

2)作AHBCH,AKCMK,易證AHB≌△AKM,據(jù)此可證明BCA≌△MCA,可得CABCAM;再由勾股定理計(jì)算可得AE=BE=1,由題干條件及上問(wèn)證明可得AB=AD,從而得到MDBC,進(jìn)而得到∠NCD∠BMD;再通過(guò)△AEB是直角等腰三角形可證明△MDC也是直角等腰三角形,可證明MBD≌△CND,則可通過(guò)計(jì)算ACCN的長(zhǎng)度,通過(guò)ANACCN進(jìn)行計(jì)算.

解:(1)延長(zhǎng)BEACF

AD平分BAC,

∴∠1∠2

BEAD,

∴∠AEBAEF90°

∠1∠2,AEBAEF90°,AE=AE,

∴△AEB≌△AEFASA

ABAF,∠3∠4,BEFE,

BF2BE

∵∠4∠5+∠C

∴∠3∠5+∠C,

∵∠ABC∠3+∠5

∴∠ABC∠5+∠C+∠52∠5+∠C3∠C,

∴∠5C,

CFBF2BE

ACAFFC

ACAB2BE;

2)作AHBCH,AKCMK,

∵∠ACHACK,

AHAK,

ABAM,

∴△AHB≌△AKM,

∴∠ABHAMK,

CBCM,

ACACCBCM,ABAM,

∴△BCA≌△MCA,

∴∠CABCAM,

BEAD,

∴∠AEB90°

BE1,AB,由勾股定理,得

AE1,

AEBE,

∠BAE=∠ABE

由上問(wèn)證明可知,∠BAN=∠CAD,∠EBD=∠ACB

∠ABD=∠ABE+∠EBD,∠ADB=∠CAD+∠ACB,

∴∠ABD=ADB,

∴AB=AD,

AMAB,

ADABAM

∴△DBM是直角三角形,

∴∠BDMCDM90°

MBD+∠NCD90°,MBD+∠BMD=90°,

∴∠NCD∠BMD

BEAD,AEBE,

∴∠BAEABE45°

AD平分BAC

∴∠BAC2∠BAD90°,

∴∠ABC+∠ACB90°

∵∠ABC3∠ACB,

∴∠ACB22.5°,

∴∠BCM45°

∴∠DMC45°

∴∠BCMDMC,

DMDC

∵∠BDM=CDM=90°,DM=DC∠BMD∠NCD,

∴△MBD≌△CNDASA),

CNBM2AB2,

AC2BE+AB2+,

ANACCN2

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】為了更好地治理水質(zhì),保護(hù)環(huán)境,某污水處理公司決定購(gòu)買(mǎi)10臺(tái)污水處理設(shè)備,現(xiàn)有A、B兩種設(shè)備可供選擇,月處理污水分別為240m3/月、200m3/月.經(jīng)調(diào)查:購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)A型設(shè)備比購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)B型設(shè)備多2萬(wàn)元,購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)A型設(shè)備比購(gòu)買(mǎi)3臺(tái)B型設(shè)備少8萬(wàn)元.

1AB兩種型號(hào)的設(shè)備每臺(tái)的價(jià)格是多少?

2)若污水處理公司購(gòu)買(mǎi)設(shè)備的預(yù)算資金不超過(guò)125萬(wàn)元,你認(rèn)為該公司有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案?

3)若每月需處理的污水約2040m3,在不突破(2)中資金預(yù)算的前提下,為了節(jié)約資金,又要保證治污效果,請(qǐng)你為污水處理公司設(shè)計(jì)一種最省錢(qián)的方案.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,是交警在一個(gè)路口統(tǒng)計(jì)的某個(gè)時(shí)段來(lái)往車(chē)輛的車(chē)速(單位:千米/時(shí))情況.

(1)這些車(chē)的平均速度為__________千米/時(shí);

(2)車(chē)速的眾數(shù)是__________;

(3)車(chē)速的中位數(shù)是__________.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖①,點(diǎn)的邊上一點(diǎn),連結(jié)沿折疊,使點(diǎn)落在處,令

1)如圖②,當(dāng)點(diǎn)落在四邊形內(nèi)部時(shí),若,則的度數(shù)為 ;

2)事實(shí)上,當(dāng)點(diǎn)落在四邊形內(nèi)部時(shí),之間的數(shù)量關(guān)系始終保持不變,請(qǐng)寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系,并利用圖②進(jìn)行證明;

3)如圖③,當(dāng)點(diǎn)落在四邊形外部時(shí),直接寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系為

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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(﹣3,0)

(1)求這條拋物線的解析式;
(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸于C點(diǎn),在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△QAC的周長(zhǎng)最?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在說(shuō)明理由;

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(1)求點(diǎn) C 的坐標(biāo)(用含 b 的式子表示);

(2) x 軸為對(duì)稱(chēng)軸,作點(diǎn) C 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) C 連接 BC、AC,請(qǐng)把圖形補(bǔ)充完整,并求出△ABC的面積(用含 b 的式子表示);

(3)點(diǎn) B 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中, OAC 的度數(shù)是否發(fā)生變化,若變化請(qǐng)說(shuō)明理由;若不變化,請(qǐng)直接 寫(xiě)出 OAC 的度數(shù).

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【題目】如圖,已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=﹣1,下列結(jié)論中: ①ab>0,②a+b+c>0,③當(dāng)﹣2<x<0時(shí),y<0.
正確的個(gè)數(shù)是(

A.0個(gè)
B.1個(gè)
C.2個(gè)
D.3個(gè)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某中學(xué)改革學(xué)生的學(xué)習(xí)模式,變“老師要學(xué)生學(xué)習(xí)”為“學(xué)生自主學(xué)習(xí)”,培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力.小華與小明同學(xué)就“你最喜歡哪種學(xué)習(xí)方式”隨機(jī)調(diào)查了他們周?chē)囊恍┩瑢W(xué),根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)繪制了以下兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖(如圖).

請(qǐng)根據(jù)上面兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖回答以下4個(gè)問(wèn)題:

(1)這次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了_____名學(xué)生.

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖中的缺項(xiàng).

(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,選擇教師傳授的占_____%,選擇小組合作學(xué)習(xí)的占_____%.

(4)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,估算該校1800名學(xué)生中大約有_____人選擇小組合作學(xué)習(xí)模式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,,,分別平分的外角,內(nèi)角,外角.以下結(jié)論:①;②;③;④平分;⑤.其中正確的結(jié)論有______________.(把正確結(jié)論序號(hào)填寫(xiě)在橫線上)

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