Question

【題目】如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于F，連接BF．

（1）求證：四邊形BFEP為菱形；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)；

①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖2），求菱形BFEP的邊長(zhǎng)；

②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動(dòng)，求出點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①菱形BFEP的邊長(zhǎng)為cm；②點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離為2cm．

【解析】試題分析：（1）由折疊的性質(zhì)得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行線的性質(zhì)得出∠BPF=∠EFP，證出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出結(jié)論；

（2）①由矩形的性質(zhì)得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，由對(duì)稱的性質(zhì)得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD﹣DE=1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=cm即可；

②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E離點(diǎn)A最近，由①知，此時(shí)AE=1cm；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E離點(diǎn)A最遠(yuǎn)，此時(shí)四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．

試題解析：解：（1）∵折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ，∴點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱，∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF．又∵EF∥AB，∴∠BPF=∠EFP，∴∠EPF=∠EFP，∴EP=EF，∴BP=BF=EF=EP，∴四邊形BFEP為菱形；

（2）①∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°．∵點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱，∴CE=BC=5cm．在Rt△CDE中，DE==4cm，∴AE=AD﹣DE=5cm﹣4cm=1cm．

在Rt△APE中，AE=1，AP=3﹣PB=3﹣PE，∴EP2=12+（3﹣EP）2，解得：EP=cm，∴菱形BFEP的邊長(zhǎng)為cm；

②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖2：

點(diǎn)E離點(diǎn)A最近，由①知，此時(shí)AE=1cm；

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖3所示：

點(diǎn)E離點(diǎn)A最遠(yuǎn)，此時(shí)四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm，∴點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離為2cm．